CINQUIEME PARTIE. § Xïî. Sj t 
Au moyen des quadratures, on trouvera donc très-aisément la 
valeur de 4 (— m ) ? en employant la formule 4 (— m ) ~ ~ fü m d<p, 
et cherchant la valeur de Faire pour les limites <p= o , cp = vr. 
Et puisqu’on a4( w H" ï ) = ( ï — rt E ) —1—2m 4 (— /w), il s’ensuit 
qu’on aura , par le même moyen , la valeur de la fonction 4 (n) pour 
toute valeur positive de n, pourvu qu’on ait n^> 1. 
Il reste donc à voir ce que l’on doit faire lorsque n est positif 
et < 1. 
igS. Si on fait Y = et qu’on difiêrentiechaque membre 
par rapport à <p, on aura , après quelques réductions , 
2adY = (i-f/*) (1— (1+2«) (1 +«*) + n ~ ; 
intégrant de part et d’autre dans les limites fixées, et observant 
que dans ces limites Y s’évanouit , on aura la formule 
(53) o=«4(«)—(i+2ft)(i+rt 2 )4(«-H)—f-(i—|—») (1—a & y^(n-j~2). 
Cette formule, au reste, serait facile à déduire de celles qui ont 
été trouvées ci-dessus pour les fonctions P (A, n) ; mais nous avons 
préféré de la démontrer directement. 
196. Au moyen de la formule précédente, toute fonction 4 ( n ) , 
dans laquelle n est plus petit que l’unité, pourra s’exprimer par les 
deux fonctions 4 («-h 1 ), 4 ( 11 "P 2 ) j dans lesquelles la variable est 
plus grande que l’unité ; celles-ci se déterminent facilement par les 
quadratures, ainsi qu’on l’a fait voir dans l’article précédent ; le cas 
de n positif et ■< 1 se résoudra donc de même par les quadratures^ 
On aura, par exemple, d’après la formule (53), 
4 «)=s (.+«•) 4 (I) - 4 (•-«•)■ 4 (î) ; 
d’un autre côté par la formule (5i)^ on a 
4 a)=(1 - «■)’ 1 4 (-4), 4 (»=0 - «*r ¥ 4 (- f j. 
donc 
( ï —■ a')* 4 (|) = 5 ( 1 + a*) 4 (— |) — 44 (—I) y 
et par conséquent 4 (y) se détermine au moyen de la formule