D’après Féquation précédente , Fon voit que la fonction F (—x) 
60 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 
et une infinité d’autres qui se réduisent à <D {[n) lorsque n est entier ; 
ce qui donnerait une infinité de solutions différentes de celle qui 
est donnée par la fonction continue O (ri). 
On pourrait appeler fonctions ondulées , les fonctions ainsi affec 
tées d’un facteur qui se réduit à Funité pour toute valeur entière 
de n. Ces fonctions serviraient à expliquer quelques paradoxes qui 
peuvent se rencontrer dans les applications de l’analyse. 
g YII. Des valeurs que prend la fonction Fa* lorsque 
la racine a est négative. 
(68). Tant que a est positif, on peut regarder la fonction F a 
comme représentant Faire , prise depuis x = o jusqu'à x = i, de 
/ 1 N' 1-1 , 
la courbe dont l’ordonnée y = fZ- 1 . Mais cette construction, en 
quelque sorte géométrique, ne peut donner aucune idée de ce que 
devient la fonction Ta, lorsqu’on suppose a négatif. 11 faut suppléer 
à cette construction par les formules mêmes qui contiennent les 
propriétés générales de la fonction F, et auxquelles on donnera 
l’extension nécessaire. On liera ainsi, suivant une même loi, les 
fonctions F ( x ) , considérées comme les ordonnées d’une même 
courbe qui répondent à des abscisses quelconques x positives ou 
négatives. 
Si Fon prend d’abord Féquation (B) et qu’on y change le signe 
de x 9 on aura 
F (— x) = — ^ F (i — x). 
Pour voir plus clairement l’usage de cette équation, nous distin 
guerons différentes périodes dans le sens négatif, comme nous les 
avons distinguées dans le sens positif. La première sera comprise 
depuis xz=o jusqu’à x — —i , la seconde depuis x=—i jusqu’à 
x = — 2, ainsi de suite.