SUPPLÉMENT. 
CASE Vili. 
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(19). Si dans la seconde formule de la case VII, on met ¿y, 
\tt — £, \rt — cL, à la place de ¿y, et, £, respectivement, ce 
qui ne change rien au module c, on aura, en prenant toujours 
l’integrale depuis coz=zol jusqu’à ¿y = £. 
( ^ 7T — » ) don tc ( COS C — COS et ) ( tt t 
MN C0S 2 » " ' 2COS 2 icosa '2 cos asini ' 3 a ^ a ) 
sin C 
2 C0S 2 i COS et 
E{c, Irt—a). 
Mais par les formules de la case Y, on a 
C. fo-., — - F 1 (c) 4- * sin g E r Ce) 
a J MN cos 2 « acosasini ' ' *2COsacos 2 i ^ ' 
De plus, les angles \<7C—a, £, satisfaisant à l’e'quation 
î = h lang(^7r — a)tang£, on a, suivant l’art. 67, première Partie, 
E*(c)— E (c, j'tî — a) = E (c 9 £) — c 2 cosasin£. 
De là on tirera 
/1 
aida 
MN cos 2 » 
TT (cos 6 — co s a) 
2 cos 2 a cos Q 
2 cos a sin C 
F(c, g) 
_™n£_ ^ 
2 cos a cos% \ y 
c’est la seconde formule de la case VIII. 
(20). On peut trouver cette formule d'une manière plus directe. 
Pour cet effet, si l’on diffe'rentie la quantité _ , on aura 
sm » cos » 
»/ »MN \ MNi/a p 
ai ) = -7 cos a et cos 2 b . 
\ sm » cos » / sm » cos » 
MN* 
ado) 
MN cos 2 » 
+ sin2 * sIna £ + ( cos3 * + cos ^ ~ 0 w- 
Intégrant de part et d’autre et observant que le premier membre 
est nul aux deux limites de l’intégrale, on aura