DEUXIÈME SUPPLÉMENT. 
xo3 
2 5 
aqis'mx—2g4sln3a: 2g 4 sin5a?—2g 4 sing^-f- etc. 
1 — zq cos 2x -f- a g 4 cos 4* — 2g9 cos 6a: -1- etc. 3 
1 . J 9 a5 49 
aKar\ /i V ag 4 cosx-4-2g 4 cos3.ii:+agcoso^r+ag 4 cos7a;-f-etc. 
P^(~)=ay- 
O 3 ) cos^(^)=(ÿ. 
K 2 -^> 
1 — 2g cos 2a: + ag+ cos4#— ag9cos6x -f- etc. 
/y f\î 1+2g cosa^-f-ag 4 cos4^ -f- 2g 9 cos6a;-f- etc. 
' ' * 1 — ag cos 2a:-f- 2g*cos \x— 2g9 cos6a:q-etc.* 
Ainsi nos trois fonctions trigonométriques de l’amplitude sont exprimées 
par des suites régulières, dans lesquelles les exposans de q sont, d’une 
part, les quarrés des nombres naturels ; d’autre part, les quarrés des nombres 
impairs divisés par 2. 
128. La forme de ces expressions très remarquables nous conduit à 
considérer deux nouvelles transcendantes 0(gr, oc), A (q, ¿r), ou simple 
ment Aa?,dont les valeurs développées en séries sont: 
(©«%“ = 1 ■— 2 q cos2X 2q* cos f\x — 2q* cos 6x + 2<7* 6 cos 8a: — etc., 
( 14) j 1 9 ¿5, 49 
(A# =2(7 4 sina;'—agr 4 sin 3x~\~2q 4 sin 5# — 27 4 sin 7a: -f-> etc.; 
et comme, en mettant x~\~j7r, au lieu de x, on obtient 
{ 0(a?-j-^7r) = 1 -f- agr cos 227+ 2^ cos 4a?-}-2g' 9 cos 6a:-f-etc., 
I -S o ¿5 ¿a 
A(x-f-j7r) = 2gr 4 cosa:-{-2g' 1 cos3a;-f-2gr 4 cos5a>f-2gr 4 cosy-r+etc., 
il s’ensuit que les trois formules précédentes pourront être présentées sous 
cette forme très simple : 
(.6) < c „s^)=(Kp(*±M, 
A^^|î) = (V) i e( * + *- ,r) . 
129. Outre les formules des deux articles précédens, on doit encore à 
M. Jacobi la formule suivante : 
(» 7) 
|ta"S^(“)= 
. x . . 3a: „ , 5x 
sm - -p gsm q° sm — 
g 6 sin ^ —f-g ,0 sin ^ -f- etc. 
x ôx , ox , nx qa: 
cos gcos g 0 *cos j-g b cos~—f-g'°cos - etc. 
3a: 5a: 
—g 3 cos 
2 2 2 ' • 2 ' " 2 
sin |a:(i +2g cos a: -p g 2 )( 1 — 2g 2 cos a: —g^)( 1 -f- 2g 3 cos x -f- g 6 ) etc. 
2g cos a: + g^C 1 "f* 2g a cosa; -f-g 4 )( 1 — 2g 3 cos a: -f- g 6 ) etc. ’ 
cos ï a:( 1 
que nous allons démontrer.