DEUXIÈME SUPPLÉMENT. 
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Mettons, dans cette dernière équation, —<7) à la place de Y, nous 
aurons 
Donc, Z(Y)Î='—y‘v/(—v)»Z(Yy — ?)• Supposons que la valeur déve 
loppée de Z(Y) soit 
Z(Y) = «(Y 1 —Y“*) + £(Y 3 —Y“ 3 ) + >(Y 5 —Y -5 ) + etc., 
on aura 
Multipliant de part et d’autre par —*/)? on aura ce De seconde 
expression de Z(y) 
aS -f- ctq Y 3 — Y 5 + yq z Y 7 — etc. 
— - 3 V- 5 + ±y-f — et. 
Z(V) = 
Comparant les deux valeurs de Z(Y), on aura, par les puissances posi 
tives de Y, comme par les puissances négatives, les mêmes équations de 
condition, savoir, 
£=-a«/, y = —ctq 3 , cT = — ctq 0 , ez=aq ,e , £ = aq' 5 , etc., 
et par conséquent 
2(V)=«[V 1 —V-'-fçCV 3 —Y" 3 )—î/ 3 (V 5 —V- 5 )— 9 e (V7—Y-7)-f- 9 10 (V9—y-9)4- et c.]. 
Dans cette expression, les puissances de q ont pour exposans la suite des 
nombres triangulaires, et ces puissances offrent alternativement deux termes 
positifs et deux négatifs. 
i3i. D’après ce résultat, on a la formule générale 
(20) AxQ>(x -f- i w) = M(sin«-i-<7sin3jî — q 3 sin5x — ÿ 6 sin qx + q 10 sinqx + etc.), 
dans laquelle mettant à la place de x, et observant que 
©(.r + vr) = ©x, on trouve cette autre formule 
A C* © x — M (cos x — q cos 3x — q 3 cos 5x -f- q 6 cos qx + q'° cos qx — etc.). 
Si l’on met \x au lieu de x, dans ces deux formules, et qu’on divise 
l’une par l’autre, on aura la première expression de lang \A 
Tome 111. 
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