DEUXIÈME SUPPLÉMENT. 
10- 
3 résulte im- 
déve- 
Nous ferons 
i entre dans 
§ IY. De quelques séries dont les sommes peuvent être 
déterminées par les fonctions elliptiques. 
182. Avant d’aller plus loin, nous allons sommer différentes suites 
ordonnées suivant les puissances de elles offrent des résultats très re 
marquables, qui se réuniront à ceux que nous avons déjà obtenus (art. 121 
et 124), et à ceux que nous donnerons ci-après, dans le $ YII. 
Si l’on fait 07 = 0, ou seulement x infiniment petit, dans les équations 
(i3) et (17), on aura les quatre formules suivantes: 
I 1 » »S 49 
K£ a q 4 — 3q^-{-5qA —rjq a -f-etc. 
7f i—2q -f- 29+—T.q9-\-a.q l6 —etc. 
1 1 9 a5 49 
, /h \ a ^4 -j_ qi 4- q 4 4- q a 4- e tc. 
2 \ib'J x — 2q -f- 2q* — 399 2g 16 — etc. 
S* 1 + 2 9 -f-2<7 4 + 2g9 4* 2 </ 16 4* etc. 
1 —2qr 4" 2 9 4 — 2 9 3 + 29 16 — etc. 
2K 1 -h 3q — 5q' J — r ]q 6 -\-ç)q 10 4- x igr' 5 — 13q*' — etc. 
a- I—q — q 3 +q ü -\-q'°— 9 15 —9 21 4“ etci ’ 
où l’on voit six séries différentes dont il faut trouver les sommes sépa 
rément. 
i33. Soit n(Æ) la fonction inconnue de k, par laquelle doit être ex 
primée la suite i -f- 2<7 -f- 2/ + 2/ -f-2/ 6 -f- etc. 5 la troisième des équa 
tions (21) donnera 1 — 2<7 + 2/— 2/ + etc. z={k , 'pU{k) , et par con 
séquent 
1 -f- 2/ + 2<7 18 + 2/ 6 + etc. = —^ k U(k) ; 
or, en mettant / au lieu de ÿ, ou h t au lieu de k, dans l’équation 
supposée 1 + + 2/+ 2/+ etc. = n(A:), on a 
1 + 2/+ 2/ 6 + 7 36 + etc. = n(^,). 
D’un autre côté, puisqu’on suppose que k, A, , sont trois termes con 
sécutifs dans l’échelle dont l’indice est 2, on a, par la propriété de cette 
échelle, K=(,+A)H»(i +A)(i + *.)H 1 = ^ . ~B. 
(x4- \/k'Y ^ onc > /H» ~ l/K-J de là et de l’équation 
nfh ^ — l +Vk'