1,32 fonctions elliptiques, 
4? sin IX 4“ sin \x + 4</ 3 sin 6x 4~ 4*7* s i n + etc. 
4- 4^^ n2X H - 4? 6 sm4x -f- 4? 9 sin 6x + 4 < 7 ,9 ^ n ^ ,r ”1“ etc. 
4- 4^ 5 sm 2x 4- 4<j l *sin4x 4“ 4 < 7 ,5s i n &£ + 49*° s i n ^ ,r etc. 
4- etc., 
et si l’on fait une somme de chaque ligne verticale, cette quantité de 
viendra 
Y~~2 s ^ 11 200 “H \ ^Lq\ s ^ n 4 X "4" ~~6 s ^ n 6 X H“ \ ^Lq* s ^ n “F - e *' c - î 
donc enfin, l’équation (45) pourra s’écrire ainsi: 
(4q) E<p = x4-^(7^ sin 2^4-^^ sin4x4- sin6x4-etc.). 
Si l’on fait x infiniment petit, ce qui donne E<p = <p = , on aura 
la formule 
E l = K 
ITT 
~K 
f(r* 
_ 4- 2 <T 
q» ^ j q\ 
+ J2L + etc .), 
l-q‘ 
„ qui servira à calculer la fonction complète E r , par le moyen des fonc 
tions de première espèce K et K', avec lesquelles on peut déterminer (f. 
On déduit de là la somme de la suite 
(5o) 
1 I îSl I V I 
i — q^ i —i— q4 m i —— q^ I 
w 
1 — 9 S 
4- etc. 
Dans le cas de qui donne F<p =7K, on a, par deux expres 
sions différentes, 
E* = i E' + + ép ~ elC -) ’ 
£*=■!£•+£(_5_ + 
i+<7 6 ï+<7‘ 
4- elc.^. 
Mais alors 011 sait que E<p = £E‘ 4“t (*— #) ; donc 
(50 
I —9 
l — n^ 1—n 10 
etc. 
? 
l-Hg a i + q b * 1 -\-q' 
-etc. 
L’égalité des deux suites contenues dans celte double équation se dé 
montre en développant chaque terme du premier membre en une série 
horizontale, puis sommant les lignes verticales d'où résulteront les termes 
successifs du second membre. 
161. Si l’on diiférentie la formule (49), on en déduira