2/ , 3q 3 , K* Æ» 7 ,A 
I — q* l — 1 — ? 6 e C * 2jr a (k * ) 
i_? 2 ?* ., V ... ctc - 51Æ — 
elc * ~~ 4»» Vk Æ / 
La première de ces équations étant soustraite de l’équation (55) , donnera 
encore ce résultat 
_ _j_ J*L 4_ Jil + e tc.=:^- ri - ï - 51\ 
‘ I—g 8 ' I — 2jt 2 \ 2 K / 
L’équation (55) transportée au module h qui suit k, et pour lequel q de 
vient q % dans l’échelle dont l’indice est 2, donnera 
rzrji + 7=7* + + etc - = IS? (' 
et si l’on soustrait de celle-ci la seconde des équations (5y), on aura 
ce»)t£$ + ï 4î 
g» ™ ' l — g- 2 * 
Voilà de nouveaux exemples ajoutés à beaucoup d’autres, qui prouvent 
qu’on peut sommer, à l’aide des fonctions elliptiques, un grand nombre 
de suites qui seraient très difficiles à sommer par d’autres moyens. On au 
rait encore par la différentiation de i —A -9 sin 9 <p , cette formule 
(6,) — sm <p cos № = -h ~Zr q <r- + etc.; 
d’où résulte, en faisant x = la somme d’une nouvelle série, savoir: 
(62) 
q 3 2 gr 3 , 5 z q 
i ~r 
'• “f" 
I — q° * 1 1 — q 
2 ~ 5 . R 3 f h ,s 
— etc. = — A (i — k). 
i63. On a pu remarquer dans le Traité précédent que les formules pour 
calculer par approximation la fonction de seconde espèce II<p, sont en gé- 
norabre impair 2« -4* 1 est la somme de quatre carrés, et qu’il en est de même d un 
nombre quelconque. On aurait aussi, d’après la même formule, l’identité 
—- + —‘-3 + A + JÎ + elc. = (i + <?' + q 3 + I e +<T + ctc.)S 
i -T- q i — <jr > —g 5 i — q 7 
d’où il suit que tout nombre N est la somme de quatre triangulaires , et qu’il l’est 
autant de fois qu’il y a d’unités dans la somme des diviseurs du nombre aN-f* 1 •