DEUXIÈME SUPPLÉMENT. 
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18.. 
. , sin^ COSfltA«t 
sin Cp = - 
sin« cos <çAq 
sin <p" = 
sin <p' -f- sin <p" = 
I — k 1 SU1 2 « sin a <p 
sin 0 COS«A« -f- sin « COS^A® 
X — k 2 sin 2 « sin 2 (p 
asin<j5 cos «A« 
— Æ 2 sin 2 « sin 2 ç> 7 
donc, en faisant les substitutions, on aura l’équation différentjelie 
c?©(x — a) c?0(x 4- a) dp /2/r sln 2 ff si»«cos«A« £ a , g £ a \ 
«y Ap \ i —/j 2 sin 2 «isin 2 ip J "** / ’ 
0(x— a) 
0(x + 
dont l’intégrale est 
(64) cotaAa[fI(a, <p) — Fp] -J- (eFct—Ea)F<p 
0 (x — a) 
a ° s ©(x-f fl)’ 
dp 
. x r r d4 
en désignant par II(a, <p) la fonction de troisième especej ^_/.» sin v si 
dont le paramètre est — A a sin* a. On n’a point ajouté de constante, parce 
que les deux membres s’évanouissent lorsque <p = o. Ils s’évanouissent 
aussi lorsque a = o; car en supposant a infiniment petit, la quantité 
n(a, <p) — F<p se réduit à A a sin 9 a ~ 9 son produit, par cotaAa, 
ou simplement par cota, est donc A 2 sin a cos a f d<P lç *, quantité qui 
s’évanouit lorsque a = o. 
169. Nous obtenons ainsi un résultat très remarquable, qui nous per 
met de déterminer la fonction de troisième espèce H(a, (p), dans le cas 
du paramètre logarithmique, par la fonction de première espèce Ftp , et. 
par la fonction ©(<7, jc), qui ne dépend que de deux quantités q et x. 
‘Comme la fonction Qx est une fonction paire de .r, on a ©x=©(—x), 
et par conséquent ©(a—x') = ©(¿c — a). On peut donc changer a en x 
et x en a dans notre équation générale, et le second membre restera 
le même. De là résulte l’équation 
(65) 
cotaAa [FI(a, <p) — Ftp] —. EaF<p 
cot (pA<p [fl(<p , et) — Fa] — E<pFa , 
qui s’accorde avec celle du n° n5, lom. I er , et au moyeu de laquelle 
on peut réduire l’une à l’autre les deux fonctions fl(a, <p), fl(<p, a). 
Cette équation, appliquée au cas de <p = a, ne détermine pas la fonc 
tion fl(a, et); mais en faisant (p = a dans l’équation (64), on trouve, 
pour ce cas particulier, la formule