148 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
sin 2a—/• a (sin2iz + sin4«) + /‘ 6 (sîn4« + sin6rt) —r ,a (sin6Æ-4-sin8fl)-f-elc. 
= 2C0Stf(sinÆ 7 ,9 sill3rt-}-r 6 sin5« /’'“sil^tf -}- etc.) J 
le dénominateur de la meme fonction se réduit de meme à 
2sin û(sin a — r a sin 3a -f- r 6 sin 5a — r ,a sin 7a -j- etc.). 
Donc, on a tang iV = il'= £tT — <2, et l’équation (78) donne 
k fi s\n ci COS«t 
A(A‘, «) 
[IP (— 1 -f- Æ' 9 sin a dt, h) — F'Æ] 
-E'fe' 
= i*'- a + F(/t', «) - E(Æ% «)] P* ; 
mettant au lieu de a sa valeur -^7 F(A'', a) = * ' ( Iv i - 1 / -f- K IL 7i— K k), 
on aura la formule 
r A' 8 sin*cos« 
(80) | *) 
[IT(—1 -f-A ,a sln a a, k) — F*A:] 
:= i 7T — F'kE(k', a) -f- E'*F(*', cl) + F l ÆF(A:', et) , 
qui s’accorde avec la formule (/«') du chap. X.XI1I, tom. 1 er . 
En second lieu, si l’on fait (p et x infiniment petits, on aura 
n , x* d©(r, a) 
taiig il = log r, —: ---; 
° *• ° 0(r, a)i/a 
Mais logr= — ^ et oc=.~ F (k, <p) = -- <p; donc, il' = <p. , 
° K 2K v ’ r ' 2K TJ 7 2tV. r &{r,a)da 7 
et de l’équation (78) on déduira 
équation qui n’est autre que l’équation (44) > dans laquelle on changerait 
les quatre quantités k, (p, 7, x, en quatre autres Æ', a, r, a, respecti 
vement. 
180. Soit maintenant a infiniment petit, ainsi que cl = , on aura 
2T 2Æ\ / jx 4 a \ / 6* 6r\ 
r 71 r v ) 2r>\r 9 r 57- / -f* 3r9\r * r 9 J 
tang O r= £2 —’la. 
etc. 
2X 3.r\ k — — 4*\ / C>jc 6x\ 
r * + r* ) +Àx » + j 
6x 6ar> 
-p ; ,,r / — A?' w -f- r ,r y -p etc. 
Soit T ou I(r, x) une fonction de r et x, ainsi exprimée : 
/ / _4f 4f\ / _6x 6£\ 
T == 1 — r\r ^ -f ^ ^ -f H\r * -f- r* ) — 7-sV- 9 -f- r v ) 
-p etc.,