156 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
fonction T4 se déduit très simplement de la fonction T<p, qui réppnd à 
une fonction F<p, moitié de la fonction F4; on aura, en effet, 
(89) T4 = 4T(p -f" log (1 — k % sin 4 (p). 
Réciproquement, la fonction T<p se déduira de la fonction T4 par 
l’équation 
T<p = ^T4 —¿log (1 — k % sin 4 (p). 
D’ailleurs, pour déduire <p de 4? on a l’équation tang £ 4 = A<p tang <p , 
d’où résulte 1 — k* sin 4 ® = c °^ , et ensuite sin ® = - sni a ——, ou 
J cos'H’ r VU O -h A'I')]’ 
sin® =777—:—j—t—f-r—r~~T? r~-—7n* Telles sont les formules de réduc- 
V/(i+ k sm y) H-\Z(ï — ¿sm 4) 
tion qui se rapportent à la duplication des fonctions de la première espèce. 
189. En second lieu , on peut tirer des fonctions complémentaires 
d’autres formules de réduction. Soit F<p -|~ Eu = F'A, on aura 
k* sin <p cos tp 
^+^1 = 0, E<p -f- Ecr — E J A = A* sin <p sin cr 
A<p 
et des 
équations T<p = J'^ E<p, T<7 = ■= — J* ^ Ee, on tirera T<p—T7 
=/$^+ E ^=/S( E ' Æ +-”)= E '^--i l0 g(—*-sin- ? ) 
-j-const. Si l’on fait <P = o, on aura u = ^-tt, et la constante =—T}?r- 
donc, ayant supposé F<p-f- Fer = F ! A, il en résulte la formule 
(90) T<7 = T^Tr-f- T<p — E*AF(p -f- log A<p. 
Soit (T = o, ou <p = 7 7t, cette formule donnera 
T 7 TT = } F'AE’A — 7 log A'. 
On trouverait le même résultat en faisant «7= <p 5 car alors on a • 
F<p — -jF'A et Acp=p / A / . 
Si dans la même formule on fait à la fois <p = tT et a = — ^ tt, on aura 
Tt=T{tt, F(p = 2F'A, A(p = 1 3 
par conséquent, 
(91) Ttt=2F'AE , A. 
Soit maintenant Ftp -f- F4 = Ftt = 2F'A, on aura 
e<p+e4 = 2E i a, <p —f— 4 == ■» iAp+^4 ==o 5 Acp=A4j 
donc T* - T4 =/(g EÇ - g E4) = /;'g (E„ + E4) 
=/$ • aE 1 * = aE'AFtp + C.