TROISIÈME SUPPLÉMENT. 
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COS et COS £ COS <P COS 4 = COS 2 ^ + COS ft&ft (sin p sin 4/ — sin a sin £) 
— A 9 /a sin et sin £ sin <p sin 4,. 
Enfin, de ces deux dernières, on tire une équation indépendante de /u, 
savoir, 
AaACAcpA-vj, — k a coscc cos £ cos <p cos «4 = k' a -\~ k a k' a sin a sin£ sincp sin 4, ; 
c’est l’équation algébrique qui répond à l’équation transcendante 
Fct — F£ == Fcp + F^. 
Appliquant ce résultat aux deux équations algébriques comprises dans 
l’équation (8), on voit d’abord que l’équation 
A<p, A<p 2 A(p 3 A<p 4 —r Æ 9 cos <p, cos <p 2 cos <p 3 cos<p 4 =Æ'*-f- Æ*Æ'*sin <p,sin <p a sin <p 3 sin <p 4 , 
correspondra à l’équation transcendante 
F<p 3 = F<p 4 + F<p, + F (p.; 
et comme on peut, dans l’équation algébrique, faire une permutation 
quelconque entre les lettres <p, , <p 2 , .<p 3 , <p 4 , cette permutation, intro 
duite également dans l’équation transcendante , fait voir que l’équation 
algébrique sera satisfaite, pourvu qu’une des quatre fonctions Fp»,, F<p 2 , 
F<p 3 , F<p 4 soit égale a la somme des trois autres. D’ailleurs, comme les 
quantités algébriques sin <p, cos <p , A<p, relatives à l’amplitude <p , res 
tent les mêmes pour toute amplitude -f-2ivr, tandis que F<p devient 
Fcp —f— 4iF l k f il est visible qu’on peut ajouter à l’un ou l’autre membre 
de l’équation transcendante la quantité 4*E'Æ, * étant un entier quel 
conque , sans que cette équation cesse de correspondre h l’équation al 
gébrique. 
Substituant successivement, dans les équations précédentes, tt — cp, 
à <p t , et 7T — (p> 3 à <p 3 , on trouvera que la seconde équation algébrique 
comprise dans l’équation (8), savoir 
Ap.A^APsA^-f-À^COSCp.COS <p 2 COS(p 3 COS<p 4 =:A' /2 --f- Æ a /Fvsin(p t sin<p 2 sin(p 3 sin(p 4 , 
correspond également aux deux équations transcendantes 
F<p, + F<p 3 — F(p a — F <p 4 = 2F ‘k, 
Fcp, -f- F<p a -f- F<p 3 -j- F<p 4 =r 2F'k. 
La première en représente six par la permutation des lettres, et d’ail 
leurs on peut ajouter à Pun des membres de ces deux équations la quan 
tité 4/F7t, i étant un entier quelconque positif ou négatif. 
2.5..