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227. Au reste, il est inutile d’insister sur ces formes diverses de l’équa 
tion transcendante qui satisfait à l’une des deux formes de l’équation (8), 
et l’on peut se borner à considérer la plus simple de ces équations, celle 
d’où toutes les autres peuvent être déduites. Pour cela, soit (p 4 = o, on 
aura l’équation algébrique 
(9) Acp, Acp a A<p 3 — A a cos <p, cos <p a cos <p 3 = k 
qui correspond à l’équation transcendante 
F<p 3 = F+ F<p,, 
et qui correspondrait également à l’une des équations 
Fp 3 = F<p, + F <p 3 , 
Fcp, = F<p a + F(p 3 ; 
en sorte quelle exprime, en général, que l’une des trois fonctions est égale 
à la somme des deux autres. Le résultat précédent se confirme immédia 
tement par les formules connues des fonctions elliptiques. En effet, on 
sait qu’à partir de l’équation transcendante 
F<p 3 = F<p, + F<p a , 
on a les deux équations algébriques (*) 
A<p,A<p 3 = A(p 3 -j- k* cos <p 3 sin cp, sin <p a , 
cos <p, cos <p a = cos <p 3 -j- A<p 3 sin <p, sin <p a . 
Multipliant la première par A<p 3 , la seconde par — k 1 cos <p 3 , et ajou 
tant les produits, on aura 
A(p,Acp a A(p 3 — Æ a cos <p, cos <p 2 cos <p 3 = A a <p 3 — A: 1 cos a <p s — A'% 
ce qui est l’équation à démontrer. 
D’après cette équation, on pourrait chercher les valeurs de cos cp 3 et 
Aq> 3 exprimées en fonctions de sintp,, siu <p 2 , cos <p t , cos<p 2 , A<p,, A<p a ; 
ce qui serait une dernière vérification de nos formules. Et d’abord fai 
sant disparaître les irrationnelles A<p,, A<p a , A<p 3 , on aura une équation 
entièrement rationnelle entre cos <p,, cos<p a , cos <p 3 , d’où l’on déduira 
O Ces deux équations algébriques n’en font, a proprement parler, qu’une seule, qui 
exprime algébriquement la relation entre les amplitudes <p,, <p a , p 3 , nécessaire pour que 
l’équation transcendante aitiieu. C’est de la même source que se tire la valeur de sin<p 3 , 
exprime'e en fonction de sin<p r , sin <p a , cos <p t , cos <p a , A<f>,, A<p a .