TROISIÈME SUPPLÉMENT. 
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de la troisième espèce, dans les differens cas dont elles sont suscep 
tibles. 
Propriétés des fonctions elliptiques de la troisième espèce. 
229. Pour parvenir plus aisément à un résultat qui soit conforme aux 
formules connues, considérons la formule suivante, formée de deux fonc 
tions qui se déduisent de la formule générale, en faisant fx = i. 
dx 
-h 
dx 
i 
'dx 
(#-f-et){/(<px) J {x — a) \/{<px) J ,/ (a* — x') \/ (<px )* 
La formule générale étant appliquée aux trois valeurs particulières de x, 
donnera 
4-r, + 4^» — 4^3 
Iop- flg + fl i*lAfr»*) 
) 2 V/(<?a) b 0?>a a ) 
a , 0( — £t) v/(<p,a) + 6,( — «Ov/(<Pa«) 
+ 7: 
i°g 
2 \/(? л ) Ô ( — a ) U(?i a ) — Û.( — a ) U(<P* a ) ’ 
formule où l’on remarquera que la partie C-j- П(Х), qui était dans 
la formule primitive, a disparu dans la différence des deux équations 
formées en donnant à л des signes différens, ce qui ne change rien à 
cette partie. 
Le second membre de notre équation, dans laquelle nous ferons 
et M = \/((r^ B )V-«)) > sera 
(<?/?“-{- я,)и(^ 2 — n ) “b ( c " a -4- c,)v/(i — ri) 
{cf -f a f ) \/{k* — n) — (cri* -f c,) v/(i — n) 
(en* — а,)\/(к л — n ) -f- (cn a — c, ) l/(i — «) 
(cn a — а,) \/(А: а — л) — (сл а — с, )\/(i — ri) 
Cest celte quantité qui, étant réduite convenablement, donnera la va 
leur de la somme 
П{п, ф,) + П (л, <p 2 ) — П(?г, <p 3 ), 
formée avec les fonctions de troisième espèce, comme Font été les 
sommes formées avec les fonctions de première et de seconde espèces, 
car on voit que dans ce cas l’intégrale fx __ — 
présentée par la fonction de troisième espèce 
ПО, f( x — n sin 2 <p) Д(р‘ 
N :log 
. N 1 
+ « lo g 
est re-