200 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
Soit, pour abréger, 
A = (c72 a ¿0 \Z(k a — n) -f- ( en a C, ) |/(l — n), 
B = {c/l* «,)l/(A a 72) {en 1 £,) \/(l 7z) , 
A' = {en 1 -f- 22,)l/(A a — n) {c/l 1 -J- I — n), 
B' = {en 1 -\- ¿2,) \/(k* n) {en 1 -f- £ : ) 1/(i —• 72). 
Le second membre de notre équation sera exprimé par — 
N i AA/ . « 
ou par — log -gjTr , et 1 on aura 
AA' = (/2C* 22 a r ) (A a 72) -f- (c a ,— ne 1 ) (i —n) 
+ 2C [a i C t ) /1* (l 72) a (A a 72) a 
= c a t — a a t A a + n (« a , — c a , — c 1 A' a ) 
-j- 2C (a, C, ) 72“ ( I —- ny (A 2 — tz)* . 
Substituant les valeurs c a 1 =rt a 1 A a -f- i, ic{a x — c,) = — siiKp, sin <p a sin<p 3 , 
(a* l —c 1 ) A /a = cos ¡p, cos <p a ços (p 3 , on aura 
1 1 1 
AA' = î 72 —f— 72 COS (p, COS (p 2 COS (p 3 72 ; (l /l) 3 (k a 72) a sin Cp, sin (p a sin (fo. 
On trouverait de même 
BB'= I 72 -f- 72COS<p, COS(p 2 COS(p 3 +72 ï (l 72)“(A a 72)“ sin <p, sill <p a sin (p 3 . 
Ainsi, pour les fonctions elliptiques de la troisième espèce, on aura 
cette formule générale de comparaison, qui suppose toujours que les 
fonctions de première espèce satisfont à l’équation Fcp, —f— F<p a — F<p 3 = o, 
n i n , <p.) + n i n > <p«) — n ( n f <Ps) 
1 J. 1 L 
I—n -f /¿cosip,co.s(p 2 co.s(?3 — n a (i—n) a (A 2 —n) a sinip,sin(p a sin(p 3 
n 1 
- log 
2 (x — «) s (/i 2 — n) i ~ i — ?i-j-ncos(picos(p a co.s(p3-f-7i‘ a (i—n)»(A 2 —n) a sin<p,sin(p a sm(p3 
Voici maintenant différentes applications de cette formule. 
280. Soit i°. 72 = A 2 sin a £, le second membre se réduit à 
tang A 2 £ -f- A 2 sin s £ cos (p, cos ® a cos p 3 — A 2 sin £ cos £ A£sin(pi sin <p a sin <p 3 
2a£ ” A 2 £ -f- A 2 sin 2 £ cos <p, cos <p a cus<ps -j- A 2 sin £ cos £ a£ sin<p, sin <p a sin <p3* 
Pour comparer ce résultat avec celui qu’on trouve art. 5g, tome I, 
il faudra remplacer les lettres <p, 4 > f* de cet article par <p,, <p a , «p 3 , 
ainsi que c et 6 par A et ë. Alors en supposant qu’on détermine les 
amplitudes y et y", qui satisfont aux équations