TROISIÈME SUPPLÉMENT. 
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§ У1. Formules pour calculer par approximation les intégrales 
a36. Nous nous proposons de de'velopper avec quelque étendue les 
dxfx 
propriétés de la transcendante фх == 
en supposant.. . . 
{X — Л) [/(<px) 9 
(pæ = i — x 5 . Ce cas, qui appartient à la seconde classe des transcen 
dantes comprises dans le théorème général, est à peu près le plus simple 
de ceux que nous pouvions prendre pour exemple ; mais il suffira pour 
donner une idée des nombreux résultats qu’on peut obtenir, dans Fana- 
lyse de ces transcendantes, à l’aide du beau théorème dont la décou 
verte est due à M. Abel. 
Pour cela, nous commencerons par examiner le cas le plus simple de 
tous ceux qui répondent à la meme valeur de <px, c’est celui de l’infé- 
grale ^x = /—-—-— r , qu’on supposera toujours prise à compter de 
Cette intégrale, dans le sens positif, ne s’étend que depuis x — o jus 
qu’à x = i, car passé x = i, il est clair qu’elle deviendrait imaginaire: 
aussi verra-t-on, dans tous nos exemples de calcul, que les valeurs posi 
tives de x, prises parmi celles que nous avons nommées auxiliaires ou 
non arbitrairesj n’excèdent jamais l’unité. A la limite x =. i, l’intégrale 
est complète, et l’on peut en exprimer la valeur exacte au moyen des 
fonctions F, qui en donneront en même temps une valeur très ap- 
prochée. 
Dans le sens négatif, le signe de x change, et l’intégrale ф (—x) de- 
s’étend de x = o à x — £ ; sa valeur complète sera donc représentée par 
ф' £, et l’on sait, d’après la théorie des intégrales Eulériennes, qu’elle peut 
encore être exprimée par les fonctions Г. Nous allons d’abord donner les 
expressions de ces deux fonctions complètes, ainsi que leurs valeurs nu 
mériques approchées.