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eBBSBBBmBBbhBBSh
16
F/4 =
FONCTIONS ELLIPTIQUES,
H i-r r
- K, ju=a p _ im , on aura cos ju, ou
« _ C0S«,nC0Sû5p_ m -i-sin«! m sin Æp_ m A« m Aa p _ m
LUb CCp— am * “ T7~ : ô • ô i
I — b sm 2 u m sur cc p _ m
d’ailleurs , Fct m et Fct p _ m étant deux fonctions complémentaires , on a
Aa„ A ct p „ m = ]/(i —k a ) = /é, et À' lang a m tang a p _ m = i ; donc enfin
cos a
2 COS « m COS «i p m
P I Psin a iC, n sin a «p_ m ‘
Ainsi l’équation que nous voulions vérifier a lieu pour toute valeur de m
prise dans la suite 2, 4 ? 6... ¿7 —> i ; c’est-à-dire pour tous les facteurs de U.
17- Il ne reste plus qu’à vérifier l’équation par rapport à tout facteur du
polynôme Y.
Ce facteur peut être représenté par i — k% sin a a ro , m étant encore un terme
quelconque de la suite 2, 4? 6 p — i. Soit Y = (i — k% sin a a m )Y',
le second membre de l’équation (i3) contiendra, dans sa partie —
terme —-- u '\—. Pour avoir le terme semblable dans le premier membre,
I K Ç S1I1 ct m
j .T uv
il faudra substituer la valeur £ = ■ -— dans la fonction —ïrr.jr , ou seu-
3 iC 2 Sin a « m 2('ÜV 7
• T . .T
lementdans sa partie Soit H' ce que devient —^-ÿ,- par cette substitu-
. H'^ a sin a «! n
tion, et
i /.^sin a i>î sera ^ erme résulte du premier membre; donc ,
pour qu’il y ait identité avec le second membre, il faudra qu’on ait EF=i
pour toute valeur de m prise dans la suite 2,4? 6. • . . /? — i.
Or , en calculant la valeur de FF comme il vient d’être dit, l’équation
FP = i conduit encore à l’équation que nous avons vérifiée sous la forme
Q ( i — k a sin a ct m sin a ct p _ m ) 2 Q'Q'.
Il est donc constaté, d’une manière générale, que l’équation (i3) de
vient identique, en substituant dans les deux membres les valeurs trou
vées pour les fonctions T , U , Y, et qu’ainsi il ne reste rien à désirer
pour la confirmation pleine et entière du beau théorème de M. Jacobi.
18. L’usage de ce théorème suppose la détermination préalable des
quantités ct m , qui satisfont à l’équation F(Æ, ct m ) = ^F l k=z
Ces auxiliaires étant connues, on connaîtra les constantes h et fx qui en
trent dans la formule de transformation F(Æ, <p) = fjiF (/i, 4 , )> et l’ampli-
