28 O 
FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, 
(I) .x 5 < i. 
, , /1 . i x 5 ï.3 x l ° , x.3.5 #' 5 \ 
4'3«3? — x 4 (7 •+• -. — -f . — -{ -¡—fi. j- etc. ). 
\4 2 9 2.414 2.4.6 19 ' J 
(II) .x 5 > f 
Soit 1 — x 5 = u, on aura <v[/ 3 x = 4a 1 — U, et U, qui représente l’in 
tégrale \fu *du (1 — m)~ », se calculera par la formule 
tt 2 . ,.î/, 1 1 “ , i*6 , 1.6.11 « 3 , x \ 
U — 5 “ v + 5-3 + 57^ • 5 + 5^5775 • 7 + etc - } 
(III) x 5 < i. 
La valeur de 4 , 3 <r se calculera par la série (I), en prenant avec le 
signe —• les termes de rang pair. 
(IV) 
x 5 > j et < I. 
Soit u = 
I -f- X' 
- 5 , on aura 
>/ 1 *3 « i3. 2 3 « 2 . 13.23.33 m 3 , . \ 
T \4 io 9 10.20 14 1o.20.3o 19 / 
(Y) x > 1. 
• i 7 /* oC^dx ^ M .L 
Il faudra faire ?/= 7^—^5, et l’on aura J — ——f\u lo du{\— u) 5 , 
ensuite 
U = | u*n + i-.i + + etc.). 
5 \7 10 17 1 .lo.iD 27 10.10.20 37 / 
3 
Si l’on fait .x = £ , la dernière formule se réduit à = j -x“ — B', 
comme l’a donnée la théorie des fonctions F. 
Exemple I". 
287. On a trouvé, dans l’art. 251, les valeurs x = — a, x =— £, 
qui, appliquées aux fonctions de la première espèce, donnent l’équation 
4^ — 4 /a = -ï'4' / 'è* 
Si des fonctions 4^ nous passons aux fonctions de seconde espèce 4,