TROISIÈME SUPPLÉMENT. * 3o5
Si Pon prend dans le sens des abscisses positives AB = i et dans le
sens des ordonnées positives A a = i, la courbe passera par les deux
points B et a. Si ensuite on prend AD = AC = m— i, et que par les
points C et D ainsi déterminés on tire la droite indéfinie FDCH, cette
droite sera une asymptote vers laquelle convergeront de chaque côté les
deux branches MBG , Mmx, dans lesquelles il faut remarquer particu
lièrement le point M où l’ordonnée est un maximum > et le point K,
où elle est un minimum ^ les abscisses de ces points étant à peu près
¿ = 0.29885 et t — — 0.89647-
La courbe dont nous venons de déterminer les points principaux, et
une courbe de même nature qu’on décrirait par l’équation (3o), en
changeant le signe de m, sont destinées à représenter toutes les solutions
réelles dont l’équation (3) est susceptible dans le système de /¿ = 3.
En effet, si l’on prend à volonté une valeur de l’oidonnée c comprise
entre le minimum Kk et le maximum Mm, la droite PQR parallèle à
l’axe, menée à la distance c, rencontrera la courbe en trois points P,
Q, R ; si la distance c est moindre que A a = 1, les abscisses de ces
trois points seront l’une positives , t = et, les deux autres négatives ,
t — — £, t = — y, et l’équation des fonctions sera
^'y ■+■ = C.
Si la distance c est plus grande que A a, il y aura toujours trois in
tersections; mais deux seront dans le sens positif ¿ = a, ¿=£, et une
dans le sens négatif, où l’on aura t = — y; alors on aura l’équation
4s'y — -\j,£ — '4' a — u.
L’étendue des solutions réelles dépend , comme on voit, de la position
des points M et R ; c’est pourquoi il importe de déterminer ces points avec
de
toute la précision nécessaire. Et d’abord, en vertu de la condition =0,
commune aux deux points M et K, on aura l’équation
o = ¿ 4 — (m — 1) t 3 -f- (m -f- \) t* {m-\- \ ) t — m -f- 1,
dont une racine positive donnera l’abscisse du point M, et une racine
négative celle du point R. Mais comme on a plusieurs élémens à déter
miner dans chaque cas, il convient de considérer les choses sous un autre
point de vue.
L’équation entre t et c, qui n’est autre chose que l’équation (3o), peut
se mettre sous la forme
