Classenanzahl der Formen. 
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§. 95. 
gleich 
co A 
wo A den Flächeninhalt der Ellipse (3) bezeichnet*). Um diesen 
zu bestimmen, transformire man die Gleichung der Ellipse durch 
Einführung solcher rechtwinkliger Coordinaten, welche mit den 
Hauptaxen der Ellipse zusammenfallen, wodurch sie die Form 
a'|' 2 + c'i?' 2 = 1 
annehmen wird. Bekanntlich bleibt bei einer solchen orthogonalen 
Transformation die Determinante & 2 — ac ungeändert, so dass 
cd d — ac — 6 2 = A 
ist; andererseits sind V cd und V c' die reciproken Werthe der beiden 
Halbaxen, und folglich ist 
TT. TT. 
wo natürlich die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist. Es ergiebt 
sich also das merkwürdige Resultat, dass dieser Flächeninhalt A, 
und folglich auch der obige Grenzwerth 
co n cp (2 A) 
4 A\A 
der auf die eine Form (a, 6, c) bezüglichen Summe von den ein 
zelnen Coefficienten a, 6, c und folglich von der individuellen 
Natur dieser Form gänzlich unabhängig ist**). Denselben Grenz 
werth wird daher jede andere, einer anderen Form («', h\ c') des 
Systems S entsprechende Summe haben; bezeichnen wir daher 
mit h die Anzahl dieser einzelnen Summen auf der linken Seite 
unserer Gleichung, d. h. also die Anzahl der Classen ursprünglicher 
*) Daraus, dass der Quotient T : t sich einem bestimmten Grenzwerth 
nähert, geht zufolge des in den Supplementen (II. §. 118) aufgestellten 
Satzes nachträglich hervor, dass die bisher betrachteten unendlichen Reihen 
für jeden positiven Werth von c>, also für alle Werthe s > 1 convergiren. 
**) Durch eine tiefere Untersuchung des Verhaltens der obigen Reihen 
für unendlich kleine Werthe von q ist KronecJcer zu einem Satze gelangt, 
der eine der wichtigsten Grundlagen für die complexe Multiplication der 
elliptischen Functionen bildet (Monatsber. d. Berl. Ak. vom 22. Jan. 1863, 
u. Sitzungsber. aus den Jahren 1883, 1886, 1889). 
Diriehlet, Zahlentheorie. 16