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FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
tang(45”±K) = i^^y 
Substituant les valeurs développées en facteurs, de $ (sin £) et 0(—sin £), 
et remettant à la place de £, on aura enfin cette équation de condition 
qui devra être vérifiée par toutes les valeurs de un : 
; tang (45° ± l g 2m ) = i. - n S 
-sin g 2m sin^+sin^am singj sinêan, sing p _ 2 db sill g 2 
( 2 4) 
sinCj—pSinS am ' sinCs sillg 2m ’ silï^-j-sinoam siü g p _ a sill £ 3 
'OU 
'tan" f 45° tai1 gÎ( g .— g «m) tangK^+^m) tangK^- a ±g C m) 
b s 2m 'tang¿(g,-fg am ) * tang|(g 3 —g 2m ) tang^(g p _ 2 zp g 2m )* 
Mais si dans l’équation (i), nous faisons <p = ct am , il résulte de la valeur 
de Ij donnée dans les équations (y) et de la loi suivant laquelle croissent 
simultanément les amplitudes «\|, et <p relatives au théorème I er , qu’on aura en 
général ^ =7?27T, et par conséquent tang (45°—^) = (—i) m • donc si l’on 
change et en £, ce qui revient à substituer le module h' au module k, l’équa 
tion (i) sera identiquement la même que la précédente en prenant 
¿ = (— i) m . 
28. 11 est démontré maintenant que de l’équation (22)00 déduit un résul 
tat tout-à-fait semblable à l’équation (19), savoir ; 
/1 (i+j a cot a g 2 ) (1 + y 2 cot 3 g 4 ) (1 -Ky 3 cot 2 £p_ t ) 
J J * ( 1 -hy 2 cot 2 g p _ 2 ) ( 1 + y 2 cot 2 g p _ 4 ) ( 1 -h ÿ 3 cot 2 g, ) * 
Quant au coefficient C, il doit être égal à —,, comme on le trouve, en fai- 
. r* 
sant 4 infiniment petit dans l’équation (19) , et la même supposition faite 
dans l’équation (22) donnera 
3 
sing t 
-A- + -A- 
sin 03 sing 5 
1. 
Maintenant il reste à prouver que la valeur précédente de z satisfait à l’é 
quation F(/2, %[/) = jw' F (Æ, ¿y) ou à sa différentielle — dy 
dz 
= ft' 
Mais au heu de substituer réellement dans le 
l/(i —O. V/( 1 —¿V) 
second membre la valeur de z en fonction de^, on peut faire usage du 
principe de la double substitution, et l’on trouvera que l’équation dont il 
s’agit est satisfaite au moyen d’une condition qui servira à déterminer le 
module k en fonction de h : cette condition est