358 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, 
La difficulté étant réduite à ce point, on va voir quelle sera promptement 
résolue, car la vérification de l’une de ces équations entraîne celle de 
l’autre, puisque celle-ci se déduit de la première, en changeant simple 
ment le signe de v/3. 
D’après la formule donnée tome I er , page 19, on voit que l’équation 
transcendante F(c, <p)-J-F(c, p') = dz¥(c, p) est représentée par 
l’équation algébrique 
(A) sin a fJL = COS a <p -f- COS a (p'' -H C 2 sin a yM-sin a (p sill*^ 2 COS fjL cos p cos p'. 
Or, on a 
8,r . . , 8.r' 
sm p — 
(1 + x) (3 + x) 
, Sin a P 
(1 -f-x') (3 -f x') 
de là 
sin a p sin a p' = 
6/^xx' 
( i -4- x -j- x' -f- xx') (g -f- 3x x' 4- xx')’ 
16 
Substituant les valeurs x -f- x 1 = y, xx' — y, on aura 
sin a p sin a p' 
On a en même temps 
( 1 — x) (3 — x) 
cos a p 
et par conséquent 
(1 -f- x) (3 4- x) 
= 1 + 
4 
1 -f- x 3 -f-ar 1 
„ „ , (1 — x — x'-f- xx ) (g — 3x — 3.r' 4- xx) 
COS a p COS a p — 7—: 7 „ , r. 
T T (1 4- x 4- x 4- XX ) (9 4- àx 4- 3x 4* xx ) 
23 
6 5 3o 
i5 
. , , , i3 23 13 
cos 3 p 4- cos 3 p = 2 4--TT-— ^- = — 
Substituant ces valeurs dans l’équation (A), ainsi que celles de cos fx = ^ 
et sin a /x = -—on trouve que cette équation est identique, en pre 
nant , comme on en est bien le maître, cos p cos p' — — 
L’équation pour le module c élant ainsi vérifiée , l’équation pour le 
module h le sera également, puisque l’une se déduit de l’autre, en 
changeant simplement, dans toutes les valeurs, le signe de y/5. On 
doit donc regarder comme rigoureusement démontrés les résultats ob 
tenus dans l’exemple III.