PREMIER SUPPLEMENT.
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G..,. 3 — 4^5 7 — 4^) 11 — 4&.... 4* — 4^ — i,
D. « . . i -f* l\h, 5 -T* 4h, 9 —J— /[h.... 4i -f— 4h — 3.
La première G se sous-divise en deux autres, l’une comprenant les ternies
négatifs 3 — 47z, 7 —4h. . — i, l’autre comprenant les termes positifs
3, 7, ii... 4i — 4h —-1. Changeant les signes des termes négatifs, on a
la suite i, 5, 9... 4h — 3, qui s’ajuste avec la série D, de manière à ne
composer qu’une seule suite 1, 5, 9.., 4^ + 4^ — 3; de là 011 voit que
les suites G et D peuvent être remplacées par ces deux autres :
3, 7, 11.... 4i — 4h — 1,
1 , 5, 9 4i + 4 h — 3.
On aura donc, par cette nouvelle distribution des facteurs,
tang ( 45° + ^ a am ) =
(0(5)(9)---
UK 5 ) (y)--
(4£ — 4A — 3).(3) (7) Çii), .
( 4 i + 4/ i _3).(3) (7) en)..
(4i+4 Â — 1 ).
(4i — 4/2 — o’
ou, en supprimant les facteurs communs aux deux termes,
tang (45° -f- ^ a im )
(4* — 4 h 4- 3) (4j — 4^ H~ ?)• • •
(4* — 4* +1 ) (4*—4 Â ~h 3) • • •
(4* + 4 Â — 0
(4* + 4 h — 3) ’
et en remettant les valeurs 4i — p — 1, 2/z = /?z,
hno(/f|o4-i» ) (p + z — zm) (^4-6 — airo) 10 — 2//Q ... (p + zm — 2)
^ 2 ,m (/J 277i) (/7 —j— 4 2m )(.P~]1- 8 2m')... (/7 4 + 2#w)'
34* Telle est la formule qui nous reste à démontrer pour le cas supposé
de p = 4 J 4“ 1 et = 2/z; les trois autres cas conduiraient au même ré
sultat, comme on peut s’en assurer * ainsi toute la difficulté se réduit à
prouver que cette dernière équation a lieu pour toutes valeurs des nom
bres 2m et 7?, l’un pair, l’autre impair.
Pour cet elfet, nous observerons, i°. que, dans l’expression précédente,
le nombre des facteurs est tzz, tant au numérateur qu’au dénominateur;
2°. que, dans le numérateur, les nombres affectés aux facteurs extrêmes
(P + 2 — 2/?z), [p — 2 -f - 277z), font une somme égalé à 2ÿy, et qu’il en
est de même de deux facteurs quelconques également éloignés des extrêmes;
3°. que le dénominateur est composé du facteur [p — 2772) et de m — 1
autres facteurs, tels que les nombres attachés aux facteurs extrêmes ou à
deux facteurs également éloignés des extrêmes , fout encore la somme 277.
Supposons, ce qui va être démontré, que le produit de deux facteurs
[p —> 7z), [p -f- /z) , dont les nombres font une somme 27?, soit égal à la
quantité constante M =
