IWWrgM 
60 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
a et ê étant des coeiïiciens constans, et Y une quantité purement algé 
brique. On doit prévoir que le calcul de la quantité Y deviendra de plus en 
plus compliqué, à mesure que le nombre p sera plus grand ; mais cette 
quantité disparaît lorsqu’il s’agit de la fonction complète, et alors la trans 
formation de la fonction E*Æ peut être faite généralement par une formule 
très simple. 
Pour parvenir à ce résultat, il serait naturel de chercher directement la 
valeur de l’intégrale —h* sin a *4), en y substituant la valeur de 
sin >4, en fonction de sin <p, donnée par la formule du théorème 1 er ; alors 
on aurait à intégrer la différentielle 
dtp. fc* Ÿ ( l —S“ 1 * <P sin 4 "tV Z 1 — *W*8m'*Y /1—^ î sin s ^sin î <i i ,_ 3 \ a 
p ^ Sin ’ \I ¿ a sin 2 <psin a «p_ t / ’ \I ¿ 2 sin 2 <psin 2 «p_ 3 / ' " ' \1— Psin 2 <p sin 2 ci J ' 
Mais cette intégration peut présenter des difficultés, au moins par la 
prolixité des calculs, et il y a un moyen beaucoup plus simple de 
parvenir au résultat \ ce moyen consiste à différencier l’équation 
F (A:, cp) = /¿F {h, 4), par rapport à A;, en regardant (p comme cons 
tante. 
78. 11 faut d’abord, pour cet objet, trouver le rapport ^ , en différen- 
K. H 
ciant l’équation des modules — P pp- 
Par la formule du n° 46, tome 1 er , appliquée aux quantités K = F’A: et 
kdk 
K' = F*^, on a, en observant que dk' = —• -y » 
dK = #-.(£■* - , 
kk'* 
dk 
d¥J— — (E'k 1 —k'F'k 1 ) ■ 
donc 
K.'<«L — KiiK'= ^{E'kW + E'№* — FWf) = 
Par la même raison , 
-irdh 
h h'* 
donc l’équation ^, = /75-, étant différenciée, donnera 
| 7T dk -3 Kdh 
¡FF 2 ”" p ' hh'*H 2 5 
et par conséquent, 
dh _ 1 M' a H' 2 _ hh'*W i hh'* 
dk~p‘ kk'* R' a P* kk'*K* pp* ’ kk'*’