PREMIER SUPPLÉMENT.
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irquable des formules
j que ces deux théo-
; de la transformation
t et *4/ = p. 7 'TC, ou
tés algébriques dispa-
, comme il suit :
0
ée en une autre E 1 ^
formule la valeur de
a mieux rempli par
inent directement en
. On aura donc, pour
ns l’échelle construite
D™-
ptiques de seconde es-
3 manières et dans les
i les formules de trans
ite, qui est en général
[’il s’agit des fonctions
ne on l’a vu, par des
r ou fractionnaire offre
, de manière que son
;ermes de l’échelle qui
que pour parvenir à la
l’échelle unique y/p ,
indice p, et dont nous
de cette échelle étant
sin 45° sont complé-
;ont désignés par m et
(m, <p) en F (to', 4)>
par des équations de
la forme
F (m, (p) = aE (m!, 4') >
E {m, (p) = bE (m>|/) -j- cF (w', >[/) + V,
où a, bj c sont des constantes, et Y une quantité algébrique qui dépend
des amplitudes <p et
Dans le cas des fonctions complètes, on aura simplement E'm = eE l m'
et E x m-=.fE l m gE l m\ e,f,g étant des constantes multiples ou sous-
multiples de a, ¿, c; d’un autre côté, on a l’équation des fonctions com
plémentaires E'mE'irí -f- E l m'E 1 m — F'raFW = ■j rt. On pourra donc
exprimer les fonctions complètes de seconde espèce E*m , E’»/, par les
fonctions complètes de première espèce F 1 m, F'm', ou seulement par
l’une d’elles.
Nous avons donné plusieurs exemples de ces réductions dans notre Traité
des Fonctions elliptiques ; mais ce n’est qu’après avoir découvert l’échelle
unique \/p, où p désigne un nombre quelconque entier ou seulement ra
tionnel , que la proposition générale qui renferme tous les cas particuliers
pouvait être établie, comme nous venons de le faire.
78. Les transformations dont les fonctions de première et de seconde
espèce sont susceptibles ne s’étendent point aux fonctions de troisième
espèce j car on a déjà vu, dans le chap. XXXI, tome I er , que pour l’é
chelle n° 3, qui est la plus simple après l’ancienne échelle, l’application
des formules de transformation à une fonction de troisième espèce, don
nerait des résultats successifs, dont la complication augmenterait conti
nuellement, et qui ne pourraient être d’aucune utilité. Il n’y a donc que
les formules de l’ancienne échelle qui s’appliquent avec succès aux fonc
tions de troisième espèce, et qui peuvent produire des résultats utiles ,
surtout pour obtenir des valeurs approchées de ces fonctions.
§ X. De Véquation différentielle qui a lieu entre deux termes
consécutifs d’une meme échelle de modules.
79. Nous avons vu que l’équation transcendante jp == P jp supplée , dans
beaucoup de cas, à l’équation algébrique qui existe toujours entre deux
termes consécutifs k et h d’une même échelle dont l’indice est p¿ équa
tion dont la recherche est difficile, même pour d’assez petites valeurs du
nombre p entier ou fractionnaire. Nous allons voir qu’en faisant dispa
raître les transcendantes de cette équation, on parvient à une équation
