ou, en remettant la valeur q = -vj (*) , 
(¿A 
(58) 0=2-^.- 
8o. Cette équation différentielle du 3 e ordre, entre les deux modules k 
et h y a Heu pour toute valeur de p, non-seulement entière ou rationnelle , 
comme l’exigent les échelles qu’on peut construire algébriquement, mais 
même irrationnelle ; elle doit donc être satisfaite par toutes les équations 
algébriques qui ont lieu pour une valeur déterminée de p : entière ou ra 
tionnelle , entre deux modules consécutifs, qui se substituent l’un à l’autre 
dans la transformation de toute fonction elliptique de première espèce. 
Ainsi, elle sera satisfaite, dans le cas de pz=.i, par l’équation 
1 L 
dans le cas de ¿?=3, par l’équation (M) a + (7c7i') 2 =i; dans le cas de ÿo=5, 
, . f -f- I —f- k I — h 
par 1 équation I — 7 J r=r 
\k J — h'\J 
Et, parce que ces équations deviennent de plus en plus compliquées , à 
mesure que p augmente, et qu’il paraît comme impossible d’en trouver l’ex 
pression générale pour toute valeur de /?, on conçoit qu’il n’est guère pro 
bable qu’on puisse intégrer complètement l’équation différentielle à la 
quelle nous sommes parvenus. Dès lors, on doit regarder comme un ré 
sultat digne de remarque que nous connaissions au moins une intégrale 
particulière de cette équation sous la forme transcendante ^ = p ; 
O Celte équation différentielle et son intégrale complète, qu’on verra ci-après, 
ont été données sans démonstration par M. Jacobi, dans le tome III du Journal de 
M. Greffe, page ig4* 
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