Der II. Abschnitt 
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ersten Falle A m = nach (475. §.); im zweiten Falle aber A n = B'» 
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nach (479- 47^- §•)’ unc ^ е ^еп darum im dritten Falle A n zi B« 
nach ( 480. §. ). Der Lehrsatz gilt daher für jeden rationalen 
Exponent; und darum bann man ihn auch für einen irrationalen 
gelten lassen ( 48З. §.). 
Lehrsatz. 
489. §. Bei Ungleichen Grössen U, и muss jede Potenz 
U z der grösseren Grösse U grösser seyn als die gleichnahmige 
Potenz u z der kleineren Grösse u. 
Beweis. Für jede ganze Zahl zzra ist sicher U w >u"* 
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(47?- §•)’ un d auc ^ für eine ganze Zahl n muss U” >u» seyn 
N m 
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(477- 479. §.); daher ist auch für jeden Bruch—■ (480- §•) U /J 
m 
> n n . Der Lehrsatz gilt demnach für jeden rationalen Exponent 
z (481. §.) mithin auch für jeden irrationalen ( 483. §.). 
49°* §* b Zusatz. Sind zwo Grossen P, Q einander gleich; 
so müssen auch alle ihre gleichnahmigen Wurzeln, etwa p, q, 
unter sich gleich seyn: weil nämlich P, Q gleichnahmige Poten 
zen von p, cj seyn müssen (486. §.); so können p, q nicht un 
gleich seyn, da sonst auch P, Q ungleich wären (489. §. ) , gegen 
die Voraussetzung. 
4gi. §• 2. Zusatz. Sind zwo Grössen M>N ungleich ;so 
muss jede Wurzel der grösseren Grösse M, etwa m, ebenfalls grös 
ser seyn, als die gleichnahmige Wurzel 11 der kleineren Grösse N: 
denn sonst müsste m<noder m=n seyn, und dann, da M, N gleich 
nahmige Potenzen von m, n seyn sollen (486. §.), wäreM<N oder 
M=N (489. 488- §•) , beides gegen die Voraussetzung. 
Lehrsatz. 
492. §. Jede Potenz des Products aus mehreren Grössen 
ist ш gleich dem Product aus den gleichnahmigen Potenzen die 
ser einzeln genommenen Grössen. 
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