120 Drittes Hauptstück
Lehrsatz.
669. §, TVenn [x, tt zwo Grössen bedeuten, welche von ei
ner bestimmten Quantität seyn sollen; x, y aber zwo verän
derliche Grössen sind, deren jede kleiner werden könne, als
jede wie immer kleine angebliche Grösse : so werden die Grös
sen [i, x einander gleich seyn müssen, sobald es sich zeigt, dass
für alle denkbare Werthe von a, y sowohl [x>7T± x als ¡x<x±q/
ist.
Beweis. 1. Darnach sind vier Bedingungen möglich, [x> x
+ x oder fx>x-«, und (x<x+Q/ oder /u<7r-y: es fragt sich
aber, welche unter diesen Bedingungen für alle Werthe von a, y
zusammen bestehen können.
2. Dass die Bedingungen fi>T+a und/Li<7T-*<y nicht zusam
men bestehen Können, ist einleuchtend: denn wegen der ersten
Bedingung, müsste auch ¿¿>x seyn, mithin, da x —y<X ist,
auch /a>7v — y gegen die zweite Bedingung.
3. Da es ferner nach dem Lehrsätze gestattet ist, die verän
derlichen Grössen x-, y kleiner als jede angebliche wie immer klei
ne Grösse anzunehmen; so können auch die Bedingungen [x>7T +
x und ix<7r + y bei dieser Voraussetzung nicht zusammen beste
hen. Denn wegen der ersten Bedingung wäre ju>7r: unter den
gegebenen Grössen (x, x gäbe es daher eine angebliche bestimmte
Differenz d, um welche /it> x, mithin /Lt=x+d wäre; und für die
se Differenz könnte man a<d und auch q/<d annehmen, was
nicht möglich ist, wenn jene beide Bedingungen zugleich erfüllt
werden sollen. Sie gäben nämlich x+d>x + a, und x+d^^x + y;
daher d>a aber d<<y.
4. Unter den vier Bedingungen in (n. 1.) sind demnach nur
folgende möglich, jvelche für alle Werthe von a, y zusammen be
stehen soll, nämlich
entweder I./u>x — x und zugleich
oder II. [x>7T — x und zugleich ¿¿<x — y.
Und daraus folgt nothwendig, es sey /u, = x. Denn sonst wä
ren [x, x ungleiche Grössen, /.x>x oder /a<x was mit jenen Be
dingungen nicht bestehen hann. Für /tt>x müsste es nämlich
eine bestimmte Differenz d geben, für welche /Lt — x+d wäre:
dann aber könnte nicht ju<xund noch weniger ^t<x-y w seyn,
was doch statt finden müsste, wenn die Bedingungen in II. zu-
sam-
