Der I. Abschnitt 127 
und das dritte C und vierte D ebenfalls unter sich gleichartige 
Grössen seyn (678. i3i. §.), wenn gleich vielleicht A und B mit 
C und D nicht gleichartig sind. 
685. §, 7. Zusatz. Wenn z den rationalen oder irrationa- 
len Exponent des Verhältnisses A :B bedeutet; so ist ArrBz (679.§.).' 
jedes geometrische Verhältniss kann man daher durch Bz:B aus* 
drücken. 
686. §. 8. Zusatz. Bei jeder geometrischen Proportion 
A:B = C:D muss der Exponent des Verhältnisses A.-B dem des 
Verhältnisses C:D gleich seyn (681. §.): heisst er z; so ist da 
für A rr Bz und Cr Dz, und Bz:Br:Dz:D ein allgemeiner Aus 
druck jeder geometrischen Proportion (685. §.). Sind nämlich 
beide Verhältnisse rational (683. §. ); so ist z eine rationale gan 
ze m oder gebrochene Zahl —, für welche sowohl ArBm oder 
n 
m m 
Ar:B—, als Cr:Dm oder Cr:D— seyn muss; sind dagegen beide 
Verhältnisse irrational (683. §.); so ist z eine irrationale Zahl > 
m , m+i ..... _ . , 
— und zugleich. < lür iede wie immer grosse ganze Zahl 
n, und eine andere ganze m, wofür sowohl A>B — undA<B 
n 
als C>D— und C<D ^ +1 - seyn muss (681. §.). 
687. §. 9. Zusatz. Und umgekehrt, wenn es aus was im 
mer für Gründen erhellet, dass es bei vier Grössen A, B, C, D ent 
weder eine ganze zrm oder gebrochene Zahl z = 
sowohl AzBm oder A~B — als CrDm oder Cr:D—;oder für je- 
n n '