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Viertes Hauptstück 
Denn, wenn z r eine decadische Einheit ist, so lässt sich z r 
in einfache Factoren 2,2,2, 5,5,5, sicher zerlegen , und 
kann darum aus anderen, allen oder einigen von jenen unterschie 
denen, einfachen Factoren schlechterdings nicht bestehen (n. 2.): 
die ganze Zahl z bestehet also ebenfalls aus einfachen Factoren 
2,2, --- 5,5, , und keinen anderen (n. 1.). Wir können daher 
mit vollem Grunde die Zahl z dem Producte aus e an der Zahl ein 
fachen Factoren 2,2,2, —, und c an der Zahl Factoren 5,5,5, 
gleich setzen, nämlich z=:2 e . 5 6 ’, die ganzen Zahlen e, c mögen 
seyn was sie wollen: für sie ist also auch z ; r: 2 C> . 5 CJ . Nun kön 
nen c, e nicht ungleiche Zahlen seyn: denn setzt man e>c, mit 
hin e — cH-x, oder c>e, daher crre+x für eine ganze Zahl x ; so 
wäre im ersten Falle z r = 2 cr + arr . 5 er = (2.5)". 2* r = (io) cr . 2^ r , und 
im zweiten Falle z r = 2 er . 5 er+r * = ( 2 .5) er . 5 r ^= (io) er . 5 r ^y folglich, 
weil sowohl (iof als (io) e/ eine decadische Einheit, dagegen 
weder 2 a:r noch b rJV eine decadische Einheit ist (n. 2.), wäre 
z r in keinem der beiden Fälle eine decadische Einheit, gegen die 
Voraussetzung. Man muss demnach zugeben, e, c seyen einan 
der gleiche ganze Zahlen, und für sie sey z r z:2 er . S er zz (io) er : al 
so zs (io) e eine decadische Einheit (n. 2.). 
4. Sey demnach z eine ganze Zahl, aber keine decadische 
Einheit, und u bedeute ihren gemeinen Logarithmen; so ist z— 
(10)“ nach (794* 77, 2 ‘ §•)• W T ill man nun sagen, u sey eine gan 
ge Zahl; so ist z nothwendig einer decadischen Einheit gleich 
* m 
(n. 2.), gegen die Voraussetzung: sagt man ferner, u =: — sey ei- 
m 
ne angebliche gebrochene Zahl; so ist z = (io) ,i , und z n r (10 ) 7 ” ; 
daher z n sicher eine decadische Einheit nach (n. 2.); mithin auch 
z eine nach (n. 3.) , gegen die Voraussetzung. 
801. §. 1. Zusatz. Die gemeinen Logarithmen der gan 
zen Zahlen, welche keine decadische Einheiten sind, müssen dem 
nach eben soviele Irrationalzahlen seyn (800. 145. §.), welche, 
zwar auf keinem W T ege vollständig angegeben werden können, 
aber doch sich durch Näherung mit jeder bei vorfallenden Um 
ständen nöthigen Schärfe bestimmen lassen sollen (483. §•) j 
und dazu können die oben gefundenen Formuln mit gutem Erfol 
ge gebraucht werden. 
Ja q 
Z. B.