theilbar, wenn diese in jener ohneRest enthalten 
ijr (§. 69). Z. B. 18 ist dnrch 6 theilbar, denn 6 ist in 18 ge 
nau 3mahl enthalten; aber 19 wäre durch 6 nicht theilbar, denn 
hier bleibt ein Rest. 
Kennzeichen der ^Heilbarkeit der Zahlen. 
h. 124. Eine ungerade Zahl ist niemahls dnrch 
eine gerade theilbar. Hat man also eine un ger ade Zahl, 
so darf man ihre Theilbarkeit durch eine gerade nicht erst unter 
suchen. Wohl aber können gerade Zahlen durch unge 
rade theilbar seyn: wie z. B. die geradeZahl 42, die doch 
durch die ungerade Zahl 7 theilbar ist. Zur Auffindung der Zah 
len, die andere Zahlen ohne Rest theilen, merke man Folgendes. 
tz. 12.5. Jede gerade Zahl, die größer als 2 i st, 
ist, wie schon oben erwähnt wurde, ein Vielfaches 
von 2, daher auch durch 2 theilbar. Z. B. 274:2 
--- 187 (tz. in). 
h. ,26. Zahlen sind durch 3 theilbar, wenn die 
Summe der einzelnen Ziffern, aus welchen sie 
besteht, durch 3 r h ei lb ar ist. Z. B. 4864 : 3 = 1618 ; 
denn 4-+ 8 -j- 4 -j- 6 — 21, und 21:3 =' 7. Die Ursache liegt 
darin, weil die Summe der Reste von den Zahlen + , 7, 7, 7/ 
nähmlich * -+■ 2 -j- 2 + 1= 6, und durch 3 theilbar ist; so 
muß es die ganze Zahl seyn. 
h. 127. Zahlen sind durch 4 theilb ar, wen n 
die letzten zwey Ziffern rechts, als eine Zahl 
für sich selbst betrachtet, durch 4 theilbar sind. 
Z. B. in der Zahl ,528 sind die zwey Ziffern 28 durch 4 theil 
bar, folglich ist es auch die ganze Zahl und 1528 : 4 = 882; 
denn die Zahl 1628 besteht aus i5oo -+ 28; aber alle Hunderte 
sind durch 4 theilbar; sind es also die zwey letzten Ziffern, so 
muß es die ganze Zahl seyn. 
§. 128. Zahlen sind durch 5 theilbar, wenn sie 
in der Stelle der Einheit entweder eine Null 
oder 5 haben. Denn man darf nur die Ziffer 5 mit den Zif 
fern i, 2, 3 u. s.'f. multiplierreu, so findet man, daß wenn 
der Multiplikator eine gerade Zahl ist, das Produkt eine 0 in 
der Stelle der Einheiten hat. Z. B. 2 x 5 — 1 o, 4 x; 5 = 20. 
Ist aber der Multiplikator eine ungerade Zahl, so hat das Pro-