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Uber innere Folgerichtigkeit. 
springt, und zwar durch Schlüsse, bei denen außer den Stamm 
sätzen nur die Sätze der Arithmetik benutzt werden. Diese Schlüsse 
setzen voraus, daß die Stammsätze (Grundsätze, Axiome. Postulate) 
der Geometrie einen haltbaren Stamm bilden; die Mittel für den 
Beweis der Haltbarkeit liefert die „analytische Geometrie“, die auf 
ein „Arithmetisieren“ der reinen Geometrie hinausläuft. Hier ganz 
besonders zeigt sich die Stärke des Glaubens an die Arithmetik, 
der tiefer wurzelt als der Glaube an die Geometrie, ja diesem als 
Stütze dienen muß. Daß aber die Arithmetik die Geometrie stützt, 
zum Beweis für die Haltbarkeit der Geometrie verhilft, wird nur 
dadurch ermöglicht, daß man die Geometrie auf einen Stamm 
zurückführt. Will man sich also auch gegenüber der Arithmetik 
nicht mit dem überlieferten und durch die ungeheure Fülle von 
erfolgreichen Anwendungen befestigten Vertrauen begnügen, sondern 
eine Begründung dafür suchen, so entsteht die unumgängliche Forde 
rung , auch die Arithmetik auf einen Stamm zurück 
zuführen. 
Die Haltbarkeit der Geometrie hat man als bewiesen zu be 
trachten, wenn man die Haltbarkeit ihres Stammes bewiesen hat. 
Ebenso muß man die — in der Geometrie vorgenommene — Halt 
barkeit der Arithmetik anerkennen, wenn man die Haltbarkeit ihres 
Stammes anerkannt hat. Während aber für die Untersuchung der 
Geometrie ein Hilfsmittel zu Gebote stand, nämlich die Arithmetik, 
so steht ein solches Hilfsmittel für die Arithmetik selbst nicht zu 
Gebote; hinter die Arithmetik, diese Grundwissenschaft aller 
Mathematik, können wir eben nicht zurückgehen. Wir sind in 
derArithmetik darauf angewiesen, i lr r e n S t a m in aus 
sich heraus zu beurteilen. 
Daraus ergibt sich die Richtschnur, der man bei dem Aufdecken 
der Stammsätze der Arithmetik folgen muß, wenn der uns vor 
schwebende Zweck erreicht werden soll. Für andere Zwecke mag 
man die Aufgabe so lösen, daß Begriffe, wie der der Menge oder 
der der Zahl, die erst im Lauf einer langen Entwicklung ihren ur 
sprünglichen Umfang zum heutigen erweitert haben, in den Stamm 
sätzen schon fertig auftreten, statt sich vor unseren Augen heraus 
zuarbeiten. Wenn auch die Möglickeit besteht, daß ein dieser Auf 
fassung angepaßter Stamm die ganze vorhandene Arithmetik zu 
sammenfaßt, so gibt ein solcher Stamm doch keinen Aufschluß über 
die Quelle, aus der die Arithmetik fließt. Nur dadurch, daß man 
die Arithmetik bis zu ihrer Quelle zurückverfolgt, kann man Stamm 
sätze gewinnen, die mit der Eigenschaft der Unentbehrlich 
keit die der äußersten Einfachheit verbinden. Stammsätze 
dieser Art darf man als primitive S tammsätze oder als Kern•