DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liy. I. 2 o3 
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cette expression S.—^ 4 -, qui est celle d’un arc d’ellipse, 
dont le demi-grand axe est 1 , et le demi-petit axe ~ ( l’abscisse 
partant du centre ) , peut être regardée comme une aire 
S. 
adx\/1 
|/j 
en supposant a = 1. On aura donc la longueur 
de 1’ arc d’ellipse répondant à l’abscisse x ( pourvu qu’elle ne 
soit pas trop approchante de l’unité) , en la divisant en plusieurs 
parties et calculant successivement l’expression ci-dessus pour 
les diverses longueurs de x. 
L’utilité d’avoir la longueur d’un arc d’ellipse dans bien des 
cas, nous engage a donner un exemple de ce calcul. Soit donc 
supposée une ellipse dont les deux axes sont l’un à l’autre, comme 
1 à ~ , le grand axe étant l’unité : c’est un des cas où la série que 
donne le calcul intégrai est la moins convergente, à moins que 
l’abscisse ne soit extrêmement petite. Supposons donc ici cette 
abscisse égale aux j de l’axe et qu’elle soit divisée en quatre 
parties égaies; en sorte que chacune soit égale à ~ du grand axe ; 
on aura par un calcul facile les valeurs de l’expression ci-dessus , 
en y supposant successivement x o ; x — y ; x =î= y ; j ; ~, et 
l’on aura d’abord la première = î. oooooo ; la seconde = 
i. 005191 ; la troisième 1. 0235io5; la quatrième 1. 068931; la 
cinquième 1.085286; ce qui donnera la somme de A-f-4B-f2C 
+ 4D + E — 12. 423795 ; et multipliant cette somme par 
l’intervalle des ordonnées , qui est ~ ; ensuite prenant le tiers 
du produit, c’est-à-dire en divisant par quinze, on a enfin pour 
l’arc d’ellipse approché dont il est ici question, 0.828262. Si 
l’on considère la complication considérable des coefficiens de 
chaque terme que donne la série pour le même arc, déduite de 
la méthode ordinaire du calcul intégral, on n’aura pas de peine 
à se persuader que cette méthode indirecte est fort préférable 
pour la brièveté à la méthode directe. 
Quant à l’ellipse entière, cette méthode n’est pas applicable 
à la déterminer , parce que la courbe des ordonnées représen- 
sentées par 
V' 1 — 
est asymptotique ; car si on fait x=l, on 
a une ordonnée infinie. Mais on a trouvé, pour le quart d’ellipse 
entier, une autre série moins compliquée , qu’il n’est pas inutile 
de faire connoître ; c’est celle-ci : 
Le demi grand axe étant toujours supposé l’unité, et le demi 
petit axe moindre que l’unité , comme aussi ee — au quarré du 
demi grand axe moins celui du demi petit axe , ou au quarré 
de la distance du foyer au centre , si n représente le quart de 
C c 2