204 histoire 
cercle décrit du rayon 1, ou le nombre 1.570796,1e quart d’ellipse 
sera égal à cette série B(i -f- ~ee— ^e 4 — —irhrth 6 ^ < ^ 0, 
dans laquelle la loi des coéfficiens est assez facile à reconnoître. 
On réduira même cette série à une forme plus commode pour le 
Calcul, en lui donnant celle-ci B ( 1—~ee—~- 6 Aee—~ 6 Bee—^lCee &c.). 
Ici chaque lettre A , B , C , D , représente le terme immédia 
tement précédent, ce qui sert à déduire sans beaucoup de calcul 
chaque terme de celui qu'on vient de trouver. Ainsi A dans le 
troisième terme étant ~ ee, ce terme est 5^1 <? 4 ; le quatrième 
Bee , est * ; , 3 6 3 * 6 e 6 , comme dans la première forme , ce qui 
prouve suffisamment leur identité. 
Mais cette série, quoiqu’en apparence fort convergente, ne 
l’est que très médiocrement, au-delà des premiers termes; si ce 
n’est dans les cas où ee est une très-petite fraction de l’unité : 
car dans le cas où ee est égal à ce qui est celui de l’ellipse 
dans laquelle les axes seroient l’un à l’autre comme 1 à 2, à 
peine quatre, cinq et six termes suffisent-ils pour faire rétro 
grader d’une place le premier chiffre significatif de la fraction 
décimale; d’où il résulte que cette série n’est pas aussi avan 
tageuse pour le calcul de la longueur de l’ellipse qu’elle le paroît 
d’abord et qu’elle l’a paru à Euler même. 
Au reste comme on peut avoir quelquefois besoin de connoître 
la longueur d’un quart d’ellipse, je saisis cette occasion d’insérer 
ici une table que j’ai autrefois calculée d’après une méthode de 
Jean Bernoulli. Elle donne les longueurs des divers quarts 
d’ellipse, depuis celle où le demi petit axe est 7^ du demi grand 
axe supposé l’unité, jusqu’à celle où ils sont égaux entr’eux , 
ce qui est le quart de cercle lui-même. 
X 
Tg* * • • 
. 1. oi58n. 
1 
ÎO* ‘ • * 
. 1.o5o442. 
3 
1 0* • • • 
. 1.092131. 
4 
1 O* • • • 
. 1.150626. 
5 
J G* • * * 
. 1. 211054. 
JL 
I O* • • • 
. 1. 276352. 
7 
10' • * • 
. 1. 345594. 
JL 
I O* • • • 
. 1.418185. 
9 
1 o* * * * 
. 1. 496255. 
1. . , . 
. 1.570796. 
Si l’on avoit besoin d’un quart d’ellipse tombant entre ces 
termes, on le trouyeroit facilement, soit en prenant des parties