DES MATHEMATIQUES. Pakx. V. Liv. I. 207 
dire, de repos qu’autant qu’il atteint le point indivisible de la 
vérité. D’ailleurs les séries ont fréquemment de grands incon- 
véniens ; le principal est souvent de ne pas converger assez , ou 
de n’avoir pas ses termes assez rapidement décroissans, pour 
qu’en ayant pris un nombre médiocre on puisse, sans erreur 
sensible, négliger le surplus. Celle-ci, par exemple, qui donne 
la grandeur du cercle , dont le diamètre est 1, savoir 1 —~ -+- ~ 
— j-h j, 8cc. converge si lentement qu’il en faudroit prendre 
100,000 termes pour avoir seulement le rapport approché 
d’Archimede , et l’on n’y gagne pas beaucoup à la représenter 
sous cette forme f -t- fr 4~ &c. ou celle - ci 1 — T 2 5 — —■ &c. 
Les géomètres ont donc été naturellement conduits à considérer 
plus particulièrement ces suites de quantités décroissantes , a 
chercher des moyens d’en trouver la somme , fussent-elles 
même prolongées à l’infini, ou si cette sommation se trouvoit 
impossible, à tenter d’en approcher jusqu’à un degré d’exactitude 
indéfini. De ces recherches enfin, il est résulté une théorie fort 
etendue et fort intéressante qui a été successivement cultivée et 
augmentée par tous les géomètre, du plus grand nom. 
Archimede marche ici à leur tête comme dans tant d’autres 
recherches géométriques ; car il paroît être le premier qui ait 
trouvé la sommation d’une progression géométrique décroissante 
continuée à l’infini. S’il ne s’énonce pas comme nous ,1e résultat 
en est le même ; ce fut un des moyens qu’il employa pour quarrer 
la parabole. 
Depuis Archimede jusqu’à ces derniers temps, je ne vois per 
sonne qui se soit proposé ce sujet de recherches. Mais Leibnitz 
annonça, en 1682, des nouvautés en ce genre, par l’écrit qu’il 
publia dans les actes de Léipsick sous ce tire : De proportione 
circuli ad quadratum circumscriptum in numeris rationalibus. 
Parmi le grand nombre de choses curieuses que contient cet 
écrit, on trouve les prop. suivantes; si l’on forme une série de 
fractions, comme celle-ci 7 4- 4- fy -+- yy 4- ^ &c., dont 
les numérateurs sont l'unité, et les dénominateurs, les quarrés 
des nombres naturels ( 1 excepté), diminués de l’unité, la somme 
de cette série continuée à l’infini ne fera que ~ et si on nrend 
ses termes en commençant par le premier, ensuite le troisième , 
le cinquième 8cc. cette série j -t- fy -H 37 4- yy 4- ^ &c. sera 
égale à-, et si l’on prend les termes de la même suite com 
mençant par le second et en omettant alternativement un, ce 
qui donne ^ + 7^7 &c.; leur somme sera Enfin 
la série ~ -+- ~ ~ -+- Sec. sera égale à l’aire du cercle dont 
le quarré inscrit est ~, ou le circonscrit Mais { 4- ^ -4- rh, 
est égal à un espace hyperbolique entre les asymptotes, qui est 
le quart du logarithme hyp. de 2.