2.6 o HISTOIRE 
est la limite du rapport de l’ordonnée à la sousécante PS , li 
mite qui résulte du rapprochement continu, et enfin de la coïn 
cidence des points q et Q ; ou ce qui est la même chose , de 
l’anéantissement de qr et rQ. 
Nous allons donc chercher, au moyen du calcul des diffé 
rences finies , l’expression de ces quantités. Nous y supposerons 
ensuite qr et rq s’évanouir, Pp s’évanouissant lui-même , et 
l’expression qui en résultera donnera, sans aucune supposition 
de quantités négligibles à cause de leur petitesse , le rapport 
de l’ordonnée à la soutangente. 
AP et PQ étant donc nommés respectivement x et y et 
p? — ax , on aura d’après l’équation de la parabole ( le para 
mètre étant p ) , =]/px ; pq=.p x [pc -h ax) , et consé 
quemment pqz=zV px -h pAx , qui réduite en série , donne 
V px 
Ax y/p Air \/p ^ Ax> y/p 
ly/X Bj/#’ y/x' 1 
Ax y/p 
qr~pq pr = 
Ax 2 y/p 
8 y/ x*“ 
&C. 
&c. Ainsi l’on aura 
Maintenant il est aisé de voir que le rapport de qr à ; Q est 
le même que celui de QP à PS. Ainsi le rapport de l’ordonnée 
à la sousécante sera exprimé par —-, où , mettant au lieu de ay 
sa valeur trouvée plus haut, on aura 
^ = j5_ + 
A* 2 y x c y x 5 
Mais le rapport dé ~ devient celui de l’ordonnée à la soutan 
gente , lorsque ax devient zéro $ ainsi ce rapport sera ce que 
devient -~L — -h &c. . lorsque ax s’évanouit. Or il est 
ly x 0 y x y 1 
évident qu’il est alors uniquement exprimé par - ou ; ainsi 
Ton aura Vpx : zx ::y: ~p~z=z à la soutangente qui, en 
mettant au lieu de y sa valeur Vpx, se trouvera = -ax , comme 
on le sait d’ailleurs. 
On trouvera la même chose de cette autre manière. De l’équa 
tion y*=px on tire ~ ^■— .■ Ainsi puisque ^ est le 
rapport de l’ordonnée à la soutangente lorsque ay devient r=o, 
ce rapport se réduira à d’où l’on déduira de même que 
ci-dessus , la soutangente égale à 2x. 
On pourra, par une semblable méthode, trouver la soutan-