DES MATHEMATIQUES. Faux. V. tiy. I. a $ 4 
gente dans toute autre courbe géométrique, mais ce n’est pas 
ici le lieu d’entrer dans de pareils détails. 
Quant aux courbes mécaniques ou transcendantes , il y aura 
plus de difficulté, parce qu’il faudra réduire en série la quantité 
transcendante, circulaire, logarithmique ou autre plus élevée, 
qui entre alors dans l’équaiion ; et il faut convenir que dans 
ce cas , l’opération devient beaucoup plus compliquée que dans 
l’emploi du calcul différentiel. Mais le principal usage de cette 
théorie des limites, est de montrer la certitude des principes 
et de la marche du calcul que nous nommons infinitésimal. 
Nous pourrions encore , si la nature de cet ouvrage le per- 
mettoit, montrer comment la théorie des limites s’applique à 
la détermination du rayon de courbure, et à la solution d’autres 
problèmes de la théorie des courbes. Mais iis exigent pour la 
plupart l’emploi des différences du second ordre , ou d’ordres 
ultérieurs. Il faut recourir pour se satisfaire sur cet objet aux 
livres que nous indiquerons bientôt, comme ayant traité cette 
matière expressément, et avec le plus grand détail. 
Après cette application de la méthode des limites à celle des 
tangentes, qui est en quelque sorte la base de tout le calcul 
différentiel : voici une application de la même méthode à la 
quadrature des courbes, problème qui n’est pas moins universel 
et fondamental dans le calcul intégrai. Nous avons à faire voir 
ici que l’increment instantané de l’aire d’une courbe , est 
exactement proportionnel à l’ordonnée elle-même, ce qui est 
la base de l’expression si connue S. y dx égale à l’aire. 
11 est nécessaire à cet effet d’employer ici une vérité de la 
théorie des limites qui suit assez évidemment de leur notion , 
pour que tout lecteur, sur son simple exposé, en reste con 
vaincu. C’est que si une grandeur est par sa nature, toujours 
moyenne entre deux autres qui peuvent se rapprocher au point 
de ne différer que de moins que toute quantité assignable, ce 
qui sera vrai de ces deux dernières , ou de l’une d’elles , lorsque 
leur différence s’anéantit, le sera également de la première. 
Cela étant entendu, soit ( Jig. 56) la courbe AQD, dont AP, FQ 
Vabscisse et l’ordonnée correspondante , soyent x et y ; que 
Yp soit et soyent formés sur Yp les rectangles Ypqs, YprÇ) ; sur 
l’axe AP/> soit élevé AB perpendiculaire au sommet de la courbe 
et formé le rectangle AptB. 
11 est évident que les accroissemens simultanés de ce rec 
tangle et de l’espace curviligne APQ seront d’un côté le rec 
tangle YTtp , et de l’autre l’espace PQ qp , lequel est plus 
grand que PQzy? , et moindre que YS qp. Ainsi l’accroissement 
de l’espace curviligne en question est à l’accroissement du rec 
tangle Pr % en une raison plus grande que celle du rectangle