histoire 
Après ces considérations générales et quelques autres sur le 
développement des fonctions , le cit, Lagrange reprend la 
formule F (.'c-f- 1 -)=:Fx -Hpi -f- qii H- ri 3 , &c. $ et au moyen 
d’un tour d’analyse particulier , il la transforme en une nou 
velle Fx -t- -H A- —^ -t- &c. , dans laquelle V'æ est une 
fonction dérivée de Frr , F' 1 x une autre fonction dérivée de 
F oc , comme celle-ci l’étoit de la première , &c. et ainsi de 
suite , en sorte que ayant une fois la fonction F’•£ , on aura 
par le même procédé F"x > F '' x , &c. 
Ceci s’applique immédiatement à l’invention et à la démons 
tration du binôme de Neuton. En effet, d’après ce qu’on vient de 
dire, qu’on suppose la fonction F^;—x m , on aura F(.r-J-/)—x-\-i 9 
qui sera égal a x -h r xi -h — 1———h —— , otc ; il ne 
s’agit que de trouver la première F'x ; or les seules règles or 
dinaires de l’algèbre donnent pour second terme mx m ~'. Ainsi 
la fonction F'x se tirant de la précédente de la même manière 
que celle-ci de la première , elle sera m.m—î. x m ~ 2 , et la 
suivante m. m—î. m— 2. x m ~ 3 , et ainsi de suite, d’où il suit 
que (x-Fi) m sera x m -\-m. x m ~'i-J- x^-'r -f- — n ~ x m " 3 i 3 , &c. 
ce qui est précisément la formule donnée par Neuton , qui se 
trouve par-là démontrée analytiquement, et quelle que soit la 
nature de l’exposant m. 
Nous devons en effet remarquer ici que quelqu’universel que 
soit l’usage de cette formule , quelque exact qu’en ait toujours 
été le résultat , on pouvoit en désirer une démonstration plus 
complète que celle donnée par Neuton , relativement aux cas 
où m est une quantité fractionnaire ou négative ; car la dé 
monstration de Neuton n’est absolument concluante que pour 
les cas où m est un nombre entier positif ; les autres en sont 
déduits par une simple induction , que tout esprit un peu versé 
dans l’analyse algébrique sent bien ne pouvoir tromper, et qui 
n’a en effet jamais été trouvée en défaut ; mais l’esprit mathé 
matique est fondé à demander encore , surtout pour un théo 
rème aussi fondamental , un genre de preuve qui ne laisse à 
l’esprit le plus vétilleux et le plus difficile en fait de preuve, 
le moindre sujet de se refuser à l’admettre. Ainsi a-t-on vu 
un docteur Green , digne pendant de nos Gauthiers , quoique 
professeur de physique à F université de Cambridge, et collègue 
de Cotes , non-seulement en douter, mais l’arguer de fausseté, 
et prétendre la démontrer par des exemples mal appliqués j 
mais il ne paroît pas que les géomètres anglois, ni même Cotes, 
son collègue, ayent daigné lui répondre. 
Hivers