DES MATHEMATIQUES. Part. Y. Liy. I. Z79 
II peut aussi arriver, dans les calculs dont nous parlons, 
que la valeur de l’angle cherché soit exprimée par des quan 
tités angulaires, où le sinus se trouve dans le dénominateur, 
comme s jy~. Il s’agit encore de résoudre pareille expression 
en sinus et co-sinus simples d’arcs multiples. Ici la chose n’est 
pas aussi simple que dans les cas précédens ; car cette expression 
se réduit nécessairement à une suite infinie. Ainsi l’on a : 
suni ( sin - y •+• sin - ty +- sin. &c. ). 
s î~p = 4' ( COS. zy 2 COS. 4y 3 cos. 6y 4 COS. 8y &c.). 
¿-p (— s * n - % — 3sin. 5y—6sin.7j—losin. pj&c.). 
De même on aura ; 
~~ y = 2. ( cos. y — cos. 3y cos. 5y — cos. jy &C. ). 
■ , = 4- ( cos. Z y—2 cos. 4y-*~ 3 cos. 6y—4 cos. 8y &c.); 
—/ J, == 8. ( cos. 3y — 3 cos. 5y-\-6 cos. y y ÎO cos. 9y &c.). 
Avec un peu d’habitude dans l’Analyse, on peut sans beaucoup 
de peine reconnoître la loi des coéfficiens des divers termes de 
ces séries. 
M. Euler à qui , nous le répétons , l’on doit toute cette sa 
vante théorie géométrique , parcourt encore divers cas plus 
compliqués j tels sont , par exemple , ceux-ci , où l’on auroit 
à résoudre en sinus et co-sinus simples , ces expressions : 
sin. z m X sin. z n , ou cos. z m X sin. z", ou cos. z m x cos. z n ; 
soit que m et n soyent l’un et l’autre positifs ; ou l’un positif et 
l’autre négatif, ce qui donne ou tous les deux négatifs, 
ce qui produit -~—- m x * $in , &c. ; mais les expressions qui ré 
sultent de ce développement sont pour la plupart trop com 
pliquées pour pouvoir trouver place ici. On peut, si l’on en est 
curieux, les voir dans le savant mémoire d’Euler, inséré dans 
le tome cinquième des Nouveaux Mémoires de Pétersbourg , 
sous le titre de Subsidium calculi sinuum. 
Nous devons maintenant donner une idée de l’intégration 
des quantités circulaires ; mais comme cette opération est une 
inverse de la différentiation , il faut commencer par cette 
dernière. 
On demande , par exemple , quelle est la différentielle du 
sinus ou du co-sinus de l’arc y , exprimée en quantités cir 
culaires ; on trouvera , au moyen du premier de théorèmes