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pour cela absurde et impossible, puisque alors l’équation recèle 
pour ainsi dire trois valeurs réelles. Et c’est ce qui a engagé 
M. Pîayfair (i) à faire sur ce calcul quelques réflexions méta 
physiques propres à faire évanouir cette singularité. 
Avant que d’aller plus loin , nous croyons devoir parler de 
quelques vérités sur les quantités imaginaires , reconnues à la 
vérité , ou plutôt senties par les analystes que démontrées , et 
dont M. d’Alembert a donné le premier la démonstration. C’est 
que toute expression , quelque compliquée qu’elle soit de quan 
tités imaginaires, peut toujours se réduire à cette forme d’ima 
ginaires A -4- B]/— i , dans laquelle A et B sont des quan 
tités réelles , qui peuvent devenir positives ou négatives , ou 
même o. Cela n’est pas difficile à démontrer ; car d’abord il 
est facile de voir que toute quantité imaginaire simple est ré 
ductible à cette forme , dans laquelle A sera la somme ou la 
différence des quantités réelles $ et si la quantité négative sous 
le radical est plus compliquée , comme ~V—cl , V — b , &c. 
ces expressions sont visiblement égales à celles - ci * 
1/a~V— î , ~Vb —î , où Va^Vb sont des quantités réelles. 
Ea somme ou la différence de quantités imaginaires réduites 
à cette forme a zh b ]/■— i c ~t: d'y— î 
demment cette forme. Il en est de même 
bV- i par c ±dV 
, prend aussi évi- 
3 si l’on multiplie 
a 
î , ou si on divise l’un par l’autre. 
Mais il n’est pas aussi aisé de le voir et de le prouver à l’égard 
de celle-ci a-ànb'V—-i ^ , c’est-à-dire si Ton élève 
a 
bV- 
i a 
la puissance c -j- d~V—î. Cela se démontre 
néanmoins par la doctrine des logarithmes et du calcul diffé 
rentiel 5 et M. d’Alembert ( Mémoires de Vacadémie de Berlin, 
année 1747 ), enseigne à déterminer, soit analytiquement, soit 
géométriquement, les quantités A et B de l’expression ci-dessus. 
Il en est enfin de même d’une quantité comme a b y — 1 , 
soit que n soit entier ou fraction, positif ou négatif. M.d’Alembert 
se sert de ces vérités pour en établir quelques autres relatives 
à la doctrine des équations ou de l’intégration des différentielles 
à fractions rationnelles (2). 
Nous avons dit qu’il y a une analogie singulière entre les 
espaces circulaires et les espaces hyperboliques ; en effet , l’es 
pace circulaire étant, par exemple, Sdæ Yaa — oeæ , l’abscisse 
(1) Trans. philos, ann. 1778. 
(a) Voyez aussi le Traité du calcul intégral, par M. de Bougainville, t. 1.