286 HISTOIRE 
Il y auroit sans doute ici quelques éclaircissemens à donner 
sur ce que peut signifier le rapport des logarithmes de -+- 1 et 
de — 1 , puisque le logarithme de 1 = o , et conséquemment 
celui de —1 est aussi = o. On les pourroit tirer de la théorie 
des logarithmes de Euler , suivant laquelle à chaque nombre 
positif appartient un seul logarithme rationnel et une infinité 
d’imaginaires ; et à chaque nombre négatif des imaginaires seu 
lement. Mais tout ce que nous venons de dire sur ces expres 
sions du rapport de la circonférence au diamètre , n’étant 
qu’une spéculation de pure curiosité , il seroit superflu d’en 
dire rien de plus. Il nous faut maintenant montrer comment 
cette introduction des imaginaires dans le calcul a étendu les 
limites de l’analyse. 
R.eprenons à cet effet l’expression de l’arc circulaire ; que 
cet arc soit nommé z, son sinus x et le rayon 1 , on aura , 
comme l’on sait, dz ■.— —-A—* Multiplions le numérateur et 
le dénominateur par J/— 1 , ce qui ne change rien à l’égalité, 
on aura dz — ~ÛdJ., dont l’intégrale est, comme on sait 
aussi , z = 'V— i log. x -+- Vxx— 1. Ainsi , qui est égal 
à — z V-— î m log. x }/xx — i. Enfin , pour passer des 
logarithmes aux quantités ordinaires , multiplions le premier 
membre de l’équation par log. e ( e étant le nombre dont le 
logarithme hyperbolique est l’unité), on aura — zV—i log. e 
— log. x -h }/xx— i j et passant des logarithmes aux nombres 
des problèmes de géométrie et d’analyse 
transcendantes, il y a aussi dans les 
Actes de Lé.psik plusieurs morceaux 
de lui. Ces diilérentes pièces, ainsi que 
diverses autres restées dans sçs porte 
feuilles, ont été publiées par lui-même, 
sous ce titre : Produzzioni mathema- 
matiche , del conte Giuiio - Carlo di 
Fagnano , marchese de’ Toschi è di 
Sant-Hor.orio , &c. ( Pesaro , 1750, 
in-4°. 2 vol. ). Il seroit long d’en dé 
tailler les différons objets. On y trouve 
cmr’autres dans le premier volume , une 
'1 héorie générale des proportions géo 
métriques , qu’on pourra peut-être 
trouver un peu volumineuse ; dans le 
second., un Traité des diverses pro 
priétés des triangles rectilignes , qui 
en contient en eiiet un grand nombre 
de curieuses et de remarquables. Parmi 
les autres pièces de ce second volume, 
on en distingue plusieurs relatives aux 
propriétés et à quelques usages de la 
courbe appellée la lemniscate ; aussi 
en a-t-ii fait graver la figure dans le 
frontispice de son livre. La date de sa 
mort ne nous est pas connue. Il a laissé 
un fils , Jean - François de Toschi è 
Fagnano , archidiacre de Sinigaglia , 
habile géomètre et marchant sur les 
traces de son père. On a de lui divers 
mémoires intéressans de géométrie et 
d’analyse , dans les Journaux de Léipsik , 
des années 1774 ,1775 et 1776 , et 
peut-être des années antérieures et pos 
térieures. Nous ne pouvons dire s’il vit 
e ¿icore.