DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 287 
e~~ i )/— * x Vtcx—1 ; d’où, en dégageant x , on tire 
r . 
enhn x = , 
/-W TA ? 1 - T 
On trouvera de meme que y, ou le co-smus de z 9 sera 
e l\/—' H- e—iv — 1 . . . 
y == , expressions singulières par leur coin- 
plication d’imaginaires ; mais qui n’en sont pas moins propres 
à déduire avec facilité diverses vérités sur les propriétés rela 
tives de l’hyperbole et du cercle , des moyens nouveaux de 
calculer les rapports des siïtbs , co-sinus, tangentes et des arcs 
multiples ou croissant arithmétiquement, &c. 
En effet, supposons (/ig.ôy) une hyperbole équilatère dont 
le centre soit C et la demi-axe transverse “ 1 , l’abscisse comptée 
du centre — x , le secteur CAB = ~ a , l’ordonnée BD j il 
faut d’abord remarquer que l’ordonnée BD dans l’hyperbole 
répond au sinus , ët l’abscisse CD au co-sinus dans le cercle. 
Supposant donc ce que dessus , on trouve dans l’hyperbole 
dont par un procédé 
dx 
l’équation différentielle da ~ . 
yi + 
semblable au précédent on tire xz 
e « e —c 
et ^ 
valeurs qui ne diffèrent de celles trouvées pour le cercle, que 
parce qu’ici on ne trouve point l’expression imaginaire ]/— 1. 
Cette analogie entre le cercle et l’hyperbole se soutient et 
se démontre par ces expressions entre les sinus et co-sinus de 
l’un , et. les ordonnées et abscisses de l’autre. Car de même 
que dans le cercle, sinus a x cos. b -t- cos. a x sin. b — sin. a -f- b, 
de même dans l’hyperbole si l’on a deux secteurs ( qui répondent 
aux arcs ou aux secteurs qui leur sont proportionnels dans le 
cercle ) , on doit avoir ord. a x absc. de b , -f- ord. b x absc. a 
= absc. a b y et cela se démontre au moyen des expressions 
ci-dessus , qui se trouvent les mêmes , sinon que celles pour 
le cercle sont compliquées du signe imaginaire ~V—i 9 tandis 
que l’expression pour les abscisses et ordonnées de l’hyperbole 
en est affranchie. Lambert, dans un mémoire de l’académie 
de Berlin , année 1768 , et intitulé Observations trigonomé- 
triques y a mis dans un jour particulier cette symbolisation 
entre les sinus et co*sinus du cercle et les ordonnées et abs 
cisses de l’hyperboJe, que par cette raison il nomme sinus et 
co-sinus hyperboliques , et il la démontre par un parallélisme 
exact et presque une identité entre les formules de sinus et 
de co-sinus , et même de tangentes, selon les différens cas ou 
rapports d’arcs circulaires , et celles des sinus , co - sinus et