DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I ЗЗ9 
orthogonale la circonférence d’un cercle, et s’il s’agissoit de 
la faire couper sous un angle oblique, ce seroit une logarithmique 
spirale. Il nous suffira de dire que dans le cas de la parabole 
tournant autour du sommet, la courbe qui la coupe toujours à 
angles droits est une spirale de la description de laquelle Jean 
Bernoulli donne les principes; ce problème étoit un de ceux 
que , dans leurs démêlés scientifiques , Jacques Bernoulli avoit 
proposés à son frère. 
Le problème dont nous allons parler maintenant, quoiqu’il 
n ait pas été proposé, comme la plupart des précédens, par 
forme de défi, entre les géomètres, est assez curieux pour mériter 
ici une place. Il s’agit de la détermination d’arcs paraboliques, 
elliptiques ou hyperboliques dont la somme ou la différence soit 
égaie à une quantité rectiligne. En effet, quoique la rectifica 
tion de l’arc parabolique dépende de la quadrature de l’hyperbole, 
et que celle des arcs hyperbolique et elliptique soient d’un degré 
de transcendance encore supérieur, on est cependant parvenu 
à résoudre ce problème dont l’objet fut probablement de parvenir, 
s’il étoit possible, à cette rectification. 
Jean Bernoulli le premier se proposa cette recherche (1) 
et trouva le moyen de déterminer sur la parabole ordinaire des 
arcs qui fussent en raison donnée ; sa méthode le conduisit à 
annoncer qu’un arc parabolique étant donné, on pouvoit en 
trouver un autre ou plusieurs autres dont la somme ou la diffé 
rence avec le premier fût une quantité algébrique, conséquem 
ment susceptible d’être représentée par une ligne droite, mais 
ces arcs ne peuvent être contigus ou renfermés i’un dans l’autre 
de manière à avoir un terme commun ; car si cela étoit on 
auroit la quadrature de l’hyperbole. C’est ainsi que cette qua 
drature vraisemblablement impossible comme celle du cercle 
échappe à l’analyse. 
Pareille recherche a été tentée sur les arcs d’Ellipse et d’hyper 
boles. Le marquis Fagnano, dont nous avons déjà parlé , 
s’en occupa beaucoup et paroît être le premier. On voit dans 
ses jProduzioni maternât:che plusieurs mémoires ancienne 
ment publiés dans la Giornate de* letterati d’italia, où il assigne 
de diverses manières, dans une ellipse ou dans une hyperbole, 
des arcs dont la différence est une quantité rectifiable. Il trouve 
ainsi sur un quart d’ellipse ou sur une branche d’hyperbole équi- 
latere deux arcs disjoints qui ont cette propriété. Il fait voir 
aussi comment on peut dans une-ellipse prendre en partant d’un 
des axes un arc quelconque , et en déterminer un autre terminé 
à l’axe conjugué, qui soit tel que leur différence soit rectifiable. 
(1) Acta érudit. 1698. Joh. Bernoulli operurn. 1.1. p. 24г. 
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