DES MATHÉMATIQUES. Pa*t. V. Liv. T. 3{3 
les différentielles auxquelles on a donné le nom de partielles. 
Cette dénomination est suffisamment expliquée par là. 
Remarquons d’abord ici qu’on a coutume de désigner ces 
coefficiens de dx, dy , et de cette manière ^ ? g , ce qui 
signifie ce que devient la fonction x , en faisant d’abord varier .2?, 
et divisant par dx, et ce qu’elle devient en faisant varier y , et 
divisant par dy , ensorte que la valeur complète de dz est repré 
sentée par j~ x dx -H ~ dy , et c’est sous cette forme que se pré 
sentent d’ordinaire les équations aux différentielles partielles. 
Ainsi toute équation entre z, x, y f ^ , et si l’on veut 
une ou plusieurs quantités constantes, sera une équation aux 
différentielles partielles j telle est, par exemple, celle-ci : a % 
b -f y —xy — o ; ce qui signifie qu’il faut pour la solution du 
problème qui conduit à cette équation , trouver une fonction 
de x et y, telle que le coefficient de la différentiede dx , multi 
plié par a , plus celui de dy multiplié par b , soient x y. 
Cette équation est une des plus simples de ce genre. On appelle 
équation aux différentielles partielles du premier ordre , celle 
où la fonction z n’a été différentiée qu’une seule fois ; car il 
yen a du second et du troisième ordre,comme —Hh—^-4-P ==o , 
+P~° j &c. et même plus élevées ; mais on seroit 
heureux d’avoir la résolution complète de celles de ces deux 
ordres. 
C’est Fontaine , à ce que je crois, qui le premier a imaginé 
cette notation, en recherchant quelle qualité doit avoir une 
différentielle à deux variables x et y , pour être absolument 
intégrable ; car nommant A dans la différentielle donnée la 
partie qui affecte dx, et B celle qui affecte da?, il faut que l’on 
ait ~ ~ , ce qui signifie que la nouvelle différentielle de 
A en y faisant varier x et divisant par dx, égale la diffé 
rentielle de B en y faisant varier y , et divisant par dy. Mais 
on s’étoit borné là jusqu’à ce que d’Alembert , d’abord dans 
ses recherches sur les cordes vibrantes , et ensuite dans celles 
sur la cause générale des vents , enfin dans sa théorie de la. 
résistance des fluides , a été conduit à des équations du genre, 
ci dessus qu’il a trouvé le moyen de résoudre par des artifices 
qui font un honneur infini à sa sagacité. Il a été par-là le 
premier inventeur d’un calcul entièrement nouveau, et d’uno