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34B HISTOIRE 
les trois fonctions arbitraires à ajouter sont autant de fonctions 
formées des combinaisons de x, y , u. 
On pourra intégrer ainsi des équations d’un plus grand nombre 
de variables ; sur quoi l’on doit observer qu’il doit toujours y 
avoir pour compléter l’intégrale autant de fonctions arbitraires 
que l’exposant de l’ordre de l’équation contient d’unités, et lors 
que les variables de l’équation seront au nombre de trois comme 
z,x,y, les fonctions arbitraires contenues dans l’intégrale seront 
d’une seule variable 5 de deux, si l’équation est entie quatre va 
riables comme z , x, y , u , et ainsi de suite. 
Le calcul intégral des différentielles partielles peut être pré 
senté sous une forme un peu différente de celle qu’on vient 
de voir ; c’est la méthode de trouver une fonction de plusieurs 
variables , lorsqu’on connoît la relation des coefficiens diffé 
rentiels de la différentielle totale. Ce que l’on appelle ici coef 
ficiens différentiels, ce sont les facteurs qui affectent les diffé 
rentielles dx, dy, dt, &c. En supposant z fonction de variables 
x, y , t, &c., ces coefliciens différentiels, on les désigne alors 
par p, q, r, &c. ; en sorte que p = q — |, r=z g, &c. ; 
et si delà on passe à des ordres supérieurs , on aura 
q f = r'— &c. Ainsi, suivant cette manière d’en 
visager ce calcul, il s’agit, étant donnée la relation entrep , 
q, r, ôcc. , de déterminer la fonction z ; ou autrement, étant 
donnée l’équation dz~pdx -t- qdy -+- rdt, <Scc. ; et étant con 
nue la relation entre p, q, r, &c. , ou entre ces coefficiens 
différentiels , et une ou deux des variables x et y , le problème 
se réduit à trouver z. Cette manière de s’énoncer ne change 
au fond rien à l’état de la question, mais semble avoir l’avantage 
de la brièveté. 
Soit donc l’équation dz — pdx -+- qdy (on se bornera à une 
fonction z de deux variables), et qu’on suppose la relation 
entre p et q être celle-ci : q — ap -4- <6 où a et b sont des quan 
tités constantes; on demande la valeur de z, on y parviendra 
ainsi. Dans l’équation ci-dessus mettez , au lieu de q, sa valeur 
ap b, on aura dz = pdx -+~ (,ap b) dy, c’est- à-dire dz — bdy 
— p(dx-hady). .Mais le premier membre de cette équation 
est intégrable, et donne z — by, le second doit donc l’être si 
la différentielle proposée a une intégrale. Or pour que cela ait 
lieu, il faut que p. soit une fonction de x -+- ay , d’où il suit 
que l'intégrale cherchée sera z — by = F (x -h «y). 
On peut ainsi former une multitude de suppositions de rapports 
entre z , x, y etp, ou de ces dernières entre elles et avec les. 
premières, et il en résulte autant de cas particuliers d’équations