35o HISTOIRE 
ou certaine variable du problème est zéro , ou a pris cette 
grandeur. 
Ainsi la détermination de ces fonctions arbitraires , d’après 
les conditions données, a du nécessairement occuper les géo 
mètres, et ils ont trouvé qu’en général cette détermination ra- 
menoit à l’intégration d’une équation aux différences finies. 
Les Mémoires de l'Académie des Sciences de 1770, 1771 
et 1772 , contiennent divers mémoires de Condorcet sur ce 
sujet, et en particulier celui de 1772 a pour objet direct la déter 
mination des fonctions arbitraires qu’il ramène dans bien des cas 
à l’intégration d’une équation aux différences finies, résultat au 
quel ont été conduits par différentes voies les citoyens Monge , 
Laplace , &cc. ; ensorte que c’est, ce semble aujourd’hui, de la 
perfection du calcul intégral des différences finies que dépend 
celle du calcul intégral des différences partielles. 
On doit à Euler , relativement aux fonctions arbitraires qu’il 
faut ajouter aux intégrales des différences partielles, une obser 
vation très-intéressante. D’Alembert vouioit qu’elles fussent assu- 
jéties à la loi de continuité, c’est-à-dire, qu’elles dussent toujours, 
par exemple , représenter une courbe assujétie à une loi uniforme 
dans sa description. Euler prétendoit que cela n’étoit pas néces 
saire , et que ces fonctions pouvoient même être discontinues , 
au point d’être représentées par les ordonnées d’une courbe quel 
conque sans équation , telle que seroit une courbe tracée à la 
main et libero ductu , et même sans contiguïté dans ses parties , 
comme une suite de points placés adlibitum. On peut voir sur cela 
quelques détails dans le mémoire de Lagrange sur le problème 
des cordes vibrantes, premier sujet de cette discussion; elle fut 
ensuite reprise entre d’Alembert et Lagrange qui s’est rangé au 
sentiment d’Euler , et ses raisons ont convaincu tous les géo 
mètres qui tiennent aujourd’hui que les fonctions en question 
ne sont point sujettes à la loi de continuité , ce qui donne à la 
solution de certains problèmes une étendue comme indéfinie. 
Le cit. Monge a ajouté à la force de ces raisons , par un mé 
moire inséré dans le IV e . tome de l’Académie de Turin. Il y fait 
voir , à l’égard des intégrales aux différentielles partielles à trois 
variables seulement, comme z, x , y, qu’elles ont pour lieu une 
surface courbe construite de telle manière qu’elle passe par au 
tant d’autres courbes qu’il y a de fonctions arbitraires dans l in- 
tégrale complète, c’est-à-dire une, si l’équation différentielle est 
du premier ordre ; deux, si elle est du second , &c. ; et il tire de 
cette construction la conséquence que rien n’astreint la fonction 
arbitraire à être une quantité algébrique et continue. Il a ensuite 
donné divers développemens à cette idée dans les Mémoires 
présentés à l’Académie des Sciences , tom. VII et IX. Cette