DES MATHEMATIQUES. Part. V. Liv. I. 55 
équation du quatrième , la seconde en cinq , au moyen des cinq 
racines d’une du cinquième. 
Quant aux équations de degré impair , comme seroit celle-ci, 
y 7 ay G y-by 3 by 4 -{■ cy 3 Ay 2 -f ay -y. î—o , elles sont toujours 
divisibles parj/q-i , ce qui les réduit à une du degré pair , qui se 
trouve conditionnée de la même manière , et conséquemment 
réductible par la même voie à des équations du second degré. Le 
mémoire où M. Euler fait ces remarques , en contient une mul 
titude d’autres dignes de la sagacité de cet homme célèbre. 
Les recherches de M. Bezout sur les équations en général , 
l’ont conduit à étendre encore beaucoup cette classe d’équations 
susceptibles de résolution complette. C’est l’objet principal d’un 
deses mémoires cités ci-dessus , savoir celui de l’année 1762, 
Après avoir exposé ses vues sur le moyen de parvenir à une 
résolution générale , et en avoir fait l’application à l’équation 
cubique , ce qui lui en donne une solution neuve et singulière 
ment élégante , il se propose ce problème ; étant donnée une 
équation telle que x n -\-p x n ~~ qx n ~ 3 -f rx"' 4 , &c. -f- M—o, trouver 
les conditions entre ses coejjiciens qui la réduiront à une 
équation du même degréy u + /z. Car cette dernière équation est 
toujours susceptible de solution complette. A cet effet , il sup 
pose ce qui lui donne une nouvelle équation com 
plette du degré n en m, et dont les coefiiciens sont des fonctions 
de a. et h , dont la progression est régulière et élégante. Cette 
équation que nous nommerons auxiliaire , lui sert à trouver la 
valeur de h, et celles de a et b , qui sont les deux racines de 
l’équation du second degré a ~ — o. Si donc main 
tenant r le coefficient du terme suivant de l’équation donnée est 
égal à celui du terme correspondant de l’équation auxiliaire , 
donné en a et h qui sont connus , le suivant au suivant, &c. les 
deux équations seront absolument égales. On aura donc d’abord 
au moyen de l’équation y n ——h ou y n ——puisque 
ety — yq* Et cette valeur étant substituée dans l’équation 
y — ~^ donne une valeur de x égale à la somme de /2—1 moyen 
nes proportionnelles entre a et b. 
Ainsi , par exemple , dans l’équation du cinquième degré 
x 1 + px 3 -j- q x- -j- rx -f- t — o , quelques soient p et q , si r ( coef. 
ficient de x ) se trouve égal au coefficient du terme correspon 
dant de l’équation auxiliaire, savoir n ' n ~y ~~ ab(aa+ab+bh) 
on aura x , ou pour mieux dire , une des valeurs de x , sera 
"Ya 4 b + a 3 h- -f ]/<2 2 b 3 + ]/a b 4 . Or ces quatre quantités sont les 
quatre moyennes proportionnelles entre a et b,