DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I! % 
Ainsi pour l’équation du quatrième degré x 4 -{-bx 3 -\-cx--\-dx~f=io\ 
si g est comme ci-dessus une valeur estimée à-peu-près , de x , 
on aura x 
.f—g'—by' —.çgg — dg . 
4g~-¥ ibg* + 2cg-)rd 
; et pour le cinquième degré 
x 3 -fbx 4 -\-cx 3 +dx 2 +/x—h—o f on auroitxzrz 
1 1 1 ’ Sg*-4-4%’ -\-3cg>Jrdg+p 
La loi pour tous les degrés est facile à appercevoir. Comme 
aussi que si les coefficiens de l’équation proposée ont des signes 
contraires à ceux qu’on a supposés , il n’y a qu’à les changer 
dans la valeur de x , et si quelques-uns de ces termes manquent, 
il n’y aura dans la valeur de x qu’à faire les coefficiens de ces 
termes, égaux à o. Raphson auroit pu ainsi abréger ses tables , et 
meme pour chaque degré ne donner qu’une formule comme 
nous venons de faire. 
Quoique nous ayions dit que par première valeur de x , il 
falloit avoir une valeur estimée jusqu’à un certain point d’exac 
titude , comme à moins d’une unité près ( si la racine excède 
l’unité ) cela n’est pas absolument nécessaire. On arrivera tou 
jours à son but, quoique par des pas plus lents ; mais si, comme 
cela peut arriver dans les équations de degrés pairs , il n’y a 
que des racines imaginaires , 'les différentes opérations qu’on 
feroient ne donneroient que des valeurs divergentes , c’est-à- 
dire qui, loin d’approcher d’un but quelconque, iroient en s’en 
écartant sans cesse. 
La méthode dont nous venons de donner une idée ne s’ap 
plique pas seulement aux équations à une seule inconnue , mais 
aussi à celles où deux inconnus , comme x et y , sont combinées 
e ntr’elles et avec des quantités connues , et où il s’agit de déter- 
terminer x en y ou y en x ( î ). Telle est celle-ci, y 3 ay — 2 a 5 
-\-axy— x 3 = o. On trouve en y appliquant la règle ci-dessus 
151 *5 
<5 ©9 x* 
16384** * ^ :C * » 
qu’une des valeurs de y est a-\- x - ~ — 
-l «2 4 64 Æ 512 a 
série qui convergera beaucoup, si x est moindre que a. Mais 
dans le cas contraire , Neuton enseigne à former une série ou 
x entre dans le dénominateur , ce qui la rend convergente , 
et elle se trouve y — x - + 7— 4- , -r- , „ T . 
4 64* 1 <312** 1 16384** 1 
au surplus , dans l’application de cette méthode , quelques em 
barras à déterminer le premier terme de la série , et c’est ce 
que Neuton éclaircit , tant dans l’endroit de son Traité cité 
ci-dessus, que dans une lettre à Oldenbourg (2), où il enseigne 
à choisir ce premier terme, au moyen de son parallélogramme 
analytique. 
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Y a, 
(1) Analysis per aequationes numero terminorum infinitas \ vid Commercium 
Epistolicum , p. 11 et seq, edit. 1713. 
(2) Ibid. p. 83 et seq. 
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