(î) Acad, de Berlin , ann. ij67. 
DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 61 
M. de Courtivron a donné dans les mémoires de l’Académie 
des Sciences de 1744 > une méthode d’approximation qui a des 
avantages particuliers. Iis consistent à abréger considérablement 
les substitutions successives et assez laborieuses qu’exige celle de 
de Neuton pour arriver à des résultats de plus en plus exacts. H 
y parvient par une différentiation successive de l’équation pro 
posée , ce qui lui donne des valeurs , qui une fois trouvées, n’ont 
plus besoin que d’être employées en forme de série fort conver 
gente. Elle est même applicable à des formes d’équations où les 
exposans au lieu d’être des nombres entiers , seroient des frac 
tions, comme dans cette équation rrf- -{- rrf + x'- — ; ce qui , dans 
les autres méthodes , exigeroit des opérations laborieuses pour la 
réduire à la forme ordinaire. 
Dans le même temps enfin M. Euler s’occupoit du même objet, 
et donnoit une formule d’approximation fondée sur des consi 
dérations analogues à celles de M. de Courtivron. C’est une 
sérié qui doit converger avec une grande rapidité , les dénomi 
nateurs de ses termes étant 1. 2. 6. 24. 120 , &c. C’est pour 
quoi nous croyons devoir l’expliquer dans la note qui est à la 
suite de ce livre. 
il est sans doute d’autres méthodes pour le même objet. J’en 
ai vu citer une de M. Kæstner. La réputation de son auteur doit 
en donner une idée très-favorable , mais elle ne m’est pas venue 
autrement à ma connoissance. 
Quelque ingénieuses néanmoins que soient ces diverses mé 
thodes , on est obligé de convenir qu’elles laissoient encore à 
désirer quelque chose de plus complet. Le Cit. Lagrange a 
rempli cet objet par divers mémoires sur la résolution tant appro- 
xiinée que complète des équations , quand il y a lieu. 
Dans un de ces mémoires (1), et qui à pour objet la résolution 
des équations numériques, il enseigne le moyen de déterminer des 
limites plus étroites des racines , chose nécessaire pour la réussite 
des méthodes de Neuton etHalley, qui exigent qu’on connoisse 
dans une équation la valeur d’une des racines assez approchante 
de la vérité pour n’en différer guère que d’un dixième. Or, c’est 
ce qu’on ne peut connaître qu’au moyen de limites plus rap 
prochées entr’elles que celles données par des analystes subsé- 
quens, comme Maclaurinj, Campbel, Stirling , Scc. Le Cit. La 
grange ne laisse rien à désirer à cet égard , et au moyen d’une 
équation nouvelle qu’il enseigne à former d’après les coefficiens 
de la proposée , et qu’il appelle équation auæ différences , parce 
que ses racines sont les quarrés des différences des racines de 
cette proposée , il détermine des limites des racines réelles de