fô HISTOIRE 
une tangente commune. Delà naît la division .de ces sortes de 
points en deux espèces ; l’une est celle où les deux branches se 
touchent par leur convexité, ( fig. 19, n°. 1), et ont par conséquent 
la tangente commune entr’e'lles. La seconde est celie où cette 
tangente est du même côté à l’égard de l’une et de l’autre. Alors 
la convexité de l’une touche la concavité de l’autre ( fig. 19, 
7i°. x ). Un habile géomètre , M. l’abbé De-Gua (1 ), a cm et 
entrepris de faire voir que cette sorte de point de rebroussement 
est impossible \ mais il est aujourd’hui reconnu qu’il s’est trompé, 
et M. Euler (2,) l’a absolument démontré , en déterminant les 
équations de tant de courbes qu’on voudra, qui ont ce genre de 
rebroussement. Une chose au reste à remarquer ici , c’est que 
ce rebroussement ne se fait et ne peut se faire que par le contact 
des deux branches de la courbe , ou leur contact commun avec 
une ligne droite , mais non en faisant un angle entr’elies. 
Toutes ces variétés enlin peuvent être combinées ensemble,, 
et le sont quelquefois réellement dans des courbes d’ordres supé 
rieurs. Dans une courbe du quatrième degré , par exemple , il 
peut y avoir un point d’inflexion combiné avec un nœud ; mais 
dans une courbe du troisième ordre cela ne sauroit avoir lieu , 
puisque la droite tangente à l’inflexion couperoit dès-lors la 
courbe en quatre points. 
11 y a enlin des courbes d’ordres supérieurs qui ont un centre 
d’autres qui n’en ont point. Nous appelions centre un point 
placé , même quelquefois sur la périphérie de la courbe , qui est 
tel qu’en menant par ce point une ligue droite rencontrant 
la courbe en deux points, elle est coupée en deux également par 
le centre. Ainsi l’on peut dire - que le centre est le point à l’égard 
duquel la cour be conserve une symétrie parfaite Tel est le point 
€ , [sommet de la courbe à quatre branches (Jig- 2.0 , 7i°. r ) , 
dont réquation est xAz=. a a y y -f x xy y ,* et qui nous donne 
l’exemple d’une courbe qui , au lieu d’être comprise dans l’angle 
de ses asymptotes , les embrasse au contraire en dehors. Tel est 
encore le point C dans la courbe A CB ( Jig. ?o , n°. 2 ) * 
rampante au dessus et au-dessous de son asymptote unique DE, 
qu’elle coupe en ce même point C. C’est celle que Neuton 
appelle Anguinea, à cause de sa forme. 
Le calcul différentiel fournit sans doute des moyens de par 
venir à la découverte des différens points singuliers qu’on vient 
d’indiquer. D’habiles géomètres en ont donné des essais , mais 
leurs règles sont sujettes à un grand nombre de limitations qu’ils 
n’ont même pas toujours apperques, L’analyse de Descartes 
approfondie comme elle l’a été depuis le commencement de ce- 
(1) Usage de PAnalyse de Des- (2) Mént, de P Acad, de Ber In , an.,. 
cartes c. Pans, 1.740, in-12» 174a,